347.

re par le rayon,eft égal à laSurface d'un Cylindre de même bafe & de même hauteur; puifque la Surface du Cylindre eft la circonfé rence de fa base, prise autant de fois qu'il y a de points dans l'axe N. égal au rayon *.

PROPOSITION VIII.

397. La Surface de la demi-Sphère vaut deux fois l'aire de fon grand cercle.

Cette Surface vaut celle d'un

Cylindre qui a pour base le grand * N. cercle, & pour hauteur le rayon *: 395 or la Surface de ceCylindre vaut * N. deux fois l'aire de fa bafe*..

346.

PROPOSITION IX.

398. La Surface de la Sphere eft quadruple de fon grand cercle. La Surface de la Sphére eft dou ble de la Surface de la demi-Sphé re:or la Surface de la demi-Sphére vaut deux fois celle de fon grand

cercle*, donc la Surface de la N. Sphère eft quadruple de fon grand 327.

cercle.

De-là, 1o. La Surface du Cylindre, étant égale à celle de la Sphére infcrite* , vaut quatre fois le grand cercle de la Sphére. 395. 2o. Comme les deux bafes du Cylindre font égales, chacune, au grand cercle de la Sphére, la Surface totale du Cylindre eft à celle de la Sphere, comme 6 à 4, ou 3 à 2..

3°. La Surface d'une Sphére vaut un cercle dont le diamétre foit double du diamétre de la Sphere:car la Surface d'une Sphére eft quadruple d'un cercle qui a pour diamétre celui de la Sphère*.

Or un cercle qui a un diamétre double, eft quadruple, puifque les cercles font comme les quarrés des rayons, & par conféquent des diamétres *.

EUDOXE. Voulez-vous, Ari- ́

3.98

27.23

No

Fig. 228.

'339.

'388.

N.

fte, que nous effayons de trouver la Surface de la Sphère par une

autre route?

ARISTE. Je vous fuis, Eudoxe, dans cette autre voye.

EUDOXE. Traçons une figure. Soient S, Sphére inferite au Cylindre ABCD; FP=CE, les deux tiers de la hauteur: FG du Cylindre,c'eft-à-dire,du diamétre de la Sphère S..

1°. Le Cylindre CEHD eft les deux tiers du Cylindre CABD * puifque FP eft les deux tiers de FG. Ainfi la Sphére S eft égale au N. Cylindre CEHD*.

2°. La Sphére S vaut un Cône qui ait pour bafe la Surface & pour hauteur le rayon FS de la 389. Sphere S*.

3700

N.

D'ailleurs, ce Cône vaut un Cylindre IKLM qui ait pour base ła base du Cône, ou la Surface de la Sphere, & pour hauteur le tiers N.FN du rayon FS, le Cône

étant le tiers d'un Cylindre de même base & de même hauteur. Donc le Cylindre IKLM CEHD=S.

3o. FP, qui eft les deux tiers de la hauteur FG du Cylindre CABD, vaut le rayon FS, plus le tiers SP du rayon, & FN n'eft e le tiers du rayon par conféquent la hauteur FP du Cylindre CEHD eft quadruple de la hauteur FN du Cylindre IKLM.

Or dans deux Cylindres égaux; mais de hauteurs inégales & de bafes inégales, les bafes font réciproques aux hauteurs *.

Donc la bafe du Cylindre IK-322 LM eft quadruple de la bafe du Cylindre CABD: donc la furface de la Sphere S, eft quadruple de la bafe du Cylindre CABD, laquelle eft égale au grand cercle de la Sphere S.

Ainfi la Surface de la Sphere eft égale à un cercle qui ait pour

72.

N.

rayon

le diamétre de la Sphere: car le cercle qui a pour rayon le diamétre de la Sphère eft quadru ple du grand cercle de la Sphére, les cercles qui ont un rayon dou ble, étant quadruples*.

Enfin, la Surface de la Sphère infcrite au Cylindre eft égale à la Surface du Cylindre, puifque la Surface duCylindre eft quadruple auffi de celle de la base: car lorf que la hauteur du Cylindre eft égale au rayon de la bafe, la Sur face du Cylindre eft double de N. celle de la base *: donc la hau46. teur du Cylindre étant double du rayon, la Surface du Cylindre fe ra quadruple de celle de la bafe. ARISTE. Cette manière de mefurer la Surface d'une Sphère me paroît précise & nette.

399. EUDOXE. Et je m'apperçois que nous touchons enfin à la mesure de la Surface de la Terre.

ARISTE. D'abord on convient