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Donc AF. AB:: AG. AE.
Donc AF-DF. AB::AG—
BG. AE; les moitiés étant com-
me les touts.

Or AF-DF-AD, & AG
BG=AB.

Donc AD. AB. AE.

16. EUDOXE. Après cela, com

rayon

noiffant le AF avec le Sinus droit AB d'un arc, vous trouverez, ce femble, le Sinus verfe AE d'un arc double ACG, & le Sinus droit EG de Parc double.

ARISTE. 1°. Puifque AD.

AB

*N.IS. AB. AE*, AD

-AE (a).

Ainfi, divifant le quarré du Sinus droit AB de l'arc foudouble par la moitié du rayon, j'aurai le Sinus verfe AE de l'arc doubleACG.

2o. Connoiffant AE & AB, moitié de AG, je connois AE & AG, hypoténuse.

(a) Calcul Littéral, N. 139.

Or dans un Triangle rectangle, dès que l'on connoît l'hypoténufe & un côté, l'on connoît l'autre Côté *.

Ainfi je connois le Sinus droit EG de l'arc double.

,

De-là, connoiffant le Sinus droit EG d'un arc comme on connoît l'arc AG, on en connoît la moitié AC, & par conféquent fon Sinus droit AB, qui donne le Sinus verfe AE de l'arc double ACG: ainfi connoiffant le Sinus EG d'un arc ACG, on aura fon Sinus verfe.

PROPOSITION III.

*N.12.

17. Le quarré du côté AB d'un Fig. 1 Triangle équilatéral ABC infcrit au Gercle, vaut trois fois le quarré du rayon, ou du demi-diaméire..

Soit AE diamétre, qui coupant la corde BC par le milieu F, cou pe de même l'arc BEC troisième

partie du cercle (a): donc la corde BE, côté d'un Exagone, vaut le demi-diamétre (b). Cela pofé; je dis que

le quarré

de AB vaut trois fois celui de BE. Les quarrés de AB & de BE valent, pris ensemble, celui de AE (c), puifque l'angle ABE infcrit & appuyé fur le diamétre eft droit.

Or le quarré de AE eft quadruple de celui de BE, le quarré d'une ligne double étant quadruple (d): donc les quarrés de AB & de BE font, pris ensemble, quadruples de celui de BE. Mais le quarré de BE ne vaut le quarré de BE:

que

Donc le quarré de AB eft triple du quarré de BE.

EUDOXE. En un mot, AB2 +

(a) Géométrie, N. 58
(b) Ibid. N. 238.
(c) Ibid. N. 204.
(d) Ibid. N. 216.

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AE2, quarré de l'hypoté

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Or AE= 4BE: donc AB+

2

=

4BE.

2

2

2

Mais BE= BE précisément :

donc AB =

2

3BE.

18. Et cela vous donne la valeur du côté AB d'un Triangle équiLatéral.

ARISTE. Cecôté AB eft la racine d'un quarré qui vaut trois fois le quarré du rayon*.

Ainfi après avoir fixé la fomme des trois quarrés du rayon, je prens la racine de cette fomme (a); & c'eft la valeur du côté AB.

-2

V3 BE AB, puisque AB=

2

VAB=3BE.

PROPOSITION IV.

* N.17

19. Le côté AB du quarré ABCD Fig. 5. (a) Calcul Littéral, N. 73.

infcrit au cercle, eft la racine de deux fois le quarré du rayon.

Soient AC, BĎ, deux diamétres qui fe coupent à angles droits au centre E. Ainsi, le Triangle ABE eft rectangle; & les côtés EA, EB font rayons,

Et je dis

que AB eft la racine de la fomme des quarrés de EA, EB.

Le quarré de l'hypoténuse AB vaut la fomme des quarrés des côtés EA, EB (a): or AB eft la racine du quarré de AB, puifque AB × AB donne le quarré de AB (b).

Donc AB eft la racine de la fomme des quarrés de EA, EB.

2

20. EUDOXE. Ainfi,AB= AE

2

2

+BE (a): or AB=√AB (b):

=

2

Donc AB √AE2 + BE2,
Et vous allez trouver le côté du

(a) Géométrie, N. 204.

(6) Calcul Littéral, N. 19.

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