gle ABC, les lignes DA, DB, DC, elles le diviferont en trois Triangles ADB, ADC,BDC qui auront tous trois une même: hauteur DE-DF-DG, rayons. du cercle infcrit, & qui pris enfemble font égaux au Triangle ABC.. 3o. Enfin les trois Triangles ADB, ADC, BDC, pris enfemble, font égaux à un Triangle qui ait, comme eux, pour hauteur les rayon ED= ED=DF=DG, & pour base la valeur des trois côtés AB, BC, AC (a), Or le Plan de ce Triangle eft le produit de la moitié de fa bafe: par fa hauteur; & cette moitié eft la moitié des trois côtés. Donc un Plan triangulaire eft: le produit de la moitié de fes trois. côtés par le rayon d'un cercle inf erit.. (a) Géométrie, N. 120. PROPOSITION II. g.42. 92. La furface ABC d'un Triangle eft égale à la racine quarrée du produit fait de la moitié de la fomme des trois côtés multipliée par le produit de leurs trois différences à cette même moitié.. *N 9.1. Ibid. = BF, Soient ABC, Triangle circonfcrit (a); DE, DF, DG, rayons perpendiculaires fur AB, BC, AC; AD, BD, CD partageant les angles par le milieu *; la Tangente AE AG, BE CF=CG*, AI = CG, CK AG, IH=CK, IL perpendicu laire fur AI; BL, coupant l'angle HBK par le milieu; enfin, HL, LK, AL, CL. = Donc 1°.. BI=BK, puifque BE BF, AE-AG=CK, AI CG CF. = ་ 2o. BI eft moitié des trois côtés AB, BC, AC: car des fix par (6) Géométrie, N.. 142 ties BF ties faites par les trois rayons, BI en contient trois, BE EA=AG, AI-CG; & BK les trois autres, BF÷BE, FC =CG, CK= AG; & BI=BK. 3o. BI eft formée des trois différences BE, EA, AI des trois côtés à la moitié BI de la fomme des trois côtés : car BE eft la différence de AC=EI à BI; EA, la différence de BC à BI, puifque BC BI-AE; AI, la différence de AB à BI. = Cela pofé; je dis que la furface triangulaire ABC=√BI×BE xAExAI. 1o. Les Triangles ILB, KLB, font égaux, puifque le côté BI= BK, que BL est commun, & que les angles compris IBL, LBK, font égaux, par la conftruc-. tion (a) donc le Triangle ILB érant rectangle en I, KLB l'eft en K. (a) Géométrie, N. 136. Mm Ainfi, LK =IL eft perpendiculaire fur BK. Les deux Triangles IHL,KLC font égaux de même, puifque IL LK, IH= KC, & que l'an-, gle compris HIL = CKL droit. Donc LCM HL comme AH AC: donc les deux Triangles ALH, ALC, font égaux, ayant, chacun, deux côtés égaux, & un côté AL commun (a): donc ils ont leurs angles homologues égaux donc l'angle HAL= CAL, ou IAL-LAG. 2o. Les angles en E, G, étant droits, ou faits par des perpendi culaires, les angles EDG, EAG, valent, pris ensemble, deux droits, puifque le quadrilatere AEDG vaut quatre droits (b): donc les deux angles EDG,EAG, valent, pris ensemble, les deux EAG, IAG formés par l'oblique (a) Géométrie, N. 134. AG (a). Ainfi, ôtez de chaque côté l'angle commun EAG; refte l'angle EDG=IAG. Donc l'angle ADE, moitié de EDG, est égal à l'angle IAL, moitié de IAG. De-là, les deux Triangles AED, AIL font femblables (b). Donc ED. AE :: AI. IL (c) Donc ED× IL= AE×AI (d). 3°. Les angles E, I, étant droits, ED, IL font paralleles (e), & les Triangles BDE, BLI font femblables (f), car l'angle B eft commun. Donc BE. BI:: ED. IL (g). Or ED. IL:: ED × ED. ED IL (h), puisque l'antécédent Géométrie, N. 97. Ibid. N. 133. Ibid. N. 150. (d) Calcul Littéral, N. 135. (f) Ibid. N. 133. (g) Ibid. N. 150. (h) Calcul Littéral, N. 143. |