la ligne AB qui prolongée passeroit par le centre C, eft la plus courte. Je dis que ABDB. Le rayon AB+ BC rayon DC, DB+BC*: donc AB *N.IS, +BC<DB BC: donc AB <DB: car la grandeur qui*N.IT. jointe à la même donne une quantité plus petite,eft plus petite. PROPOSITION V. 77. D'un point B hors du centre Fig.42 A, on mene à la circonférence deux lignes égales. Soit ABEF, rayon perpendi culaire fur la corde GH: Je dis que BGBH. par La perpendiculaire commune BE paffant par le centre A, coupe la corde GH le milieu*: *N.6.1; donc les éloignemens du perpendicule EG, EH, font égaux, & la perpendiculaire BE eft la même; & par conféquent l'oblique BG=BH*. *N.35% PROPOSITION VI. Fig.43. 78. Enfin, fi une ligne droite CEFD, traverse deux cercles concentriques, fes parties comprifes entre les cercles font égales. Je dis que CE= FD. Du centre A,fur la corde CD,ou EF, j'éleve la perpendiculaire AB: donc BC BD, & BE = *N.61. BF *, puifque la perpendiculaire tirée du centre coupe la corde par le milieu. & Donc, fi de BC on ôte BE, que de BD on ôte BF; refte *N.10. CE-FD*: car de grandeurs égales, ôtez chofes égales ; les reftes font égaux. Et la Tangente vient à la fuite. des Sécantes. La Tangente. Fig.44. 79. C'eft une perpendiculaire AC fur l'extrémité d'un rayon DC. De-là, 1°. Le rayon touché eft perpendiculaire fur la Tangente *. * N.27. 2o. Si une perpendiculaire coupe la Tangente au point d'attouchement, elle paffera par le centre étant même chofe que le rayon: autrement, il partiroit du point d'attouchement deux pendiculaires, le rayon & la pendiculaire qu'on fuppofe couper la Tangente; ce qui n'eft pas poffible*. PROPOSITION I. per per *N.31. 80. La Tangente ABC ne tou- Fig.44; che le cercle que par un point C. Je dis que fi C touche, B ne touche pas. Le rayon DC étant perpendi culaire fur ABC*, DB eft obli- *N.79. que*: donc DB> DC**. Donc fi C touche, B, extrémité de l'oblique DB plus grande que DC, ne touche pas. *N.31. **N. 34 PROPOSITION II. Big.45. 81. Point de ligne droite qui paffe entre la Tangente & le cercle. Je dis que CE tirée du point d'attouchement C entre la Tangente BC & le rayon CD, passe dans le cercle. 1°. Puifque BC eft perpendicu laire fur CD, CE eft oblique à *N.79. CD & CD oblique à CE*: ainfi l'on peut tirer du centre D une perpendiculaire DF fur CE. 2o. La perpendiculaire DF eft *N.34. plus courte que l'oblique CD * qui eft rayon donc Feft dans le cercle. Fig.46. Or F eft un point de la ligne CE: donc CE paffe dans le cercle. PROPOSITION III. 82. Entre la Tangente AB & le cercle C, on peut tirer par le point d'attouchement A une infinité de lignes circulaires. 1o. Prolongez le rayon AD en E: & de E, comme centre, décrivez par A le cercle AFA ayant le rayon plus grand.. C, 2°. Le rayon AD+DE pouvant être prolongé à l'infini, vous ferez paffer par A des cercles à l'infini, toujours plus grands, & qui n'auront qu'un point A de commun *. Or ces cercles ne toucheront la tangente AD qu'en un point *.. Donc entre la Tangente & le cercle, &c. PROBLEME I. *N.S * N. 8 83. EUDOXE. Tirer une Tangen- Fig.476 te fur un point donné A. ARISTE. Je mene d'abord un rayon du centre C au point donné A; puis une perpendiculaire AB fur l'extrémité A du rayon *; &*N.28%. AB eft la Tangente *.. *N.7.9 |