De B, je décris le demi-cercle CEAFD, dont le diamétre eft *N.SS. CB+BD *.

La corde AC-AD, puisque le point B de la perpendiculaire AB étant également éloigné des points oppofés C, D, par la con*N.23. ftruction, le point A l'eft auffi * : *N.57. donc l'arc AEC AFD*, puifque les cordes égales foutiennent des arcs égaux: ainfi, chacun est de 90 dégrés, moitié de la demicirconférence CAD; & les angles ABC, ABD, ayant pour mefure un arc de 90 dégrés, cha*N.94. cun; font droits *.

De-là, un angle de 90 dégrés, ou formé par deux perpendiculaires, c'eft même chofe, c'eftà-dire, un angle droit.

PROPOSITION III.

Fig.58. 96. Une ligne AB, qui fait avec une autre CD deux angles droits, eft perpendiculaire.

Puifque les cordes AC, AD foutenant des arcs égaux dans l'hypothèse, font égales*, le point * N.56. A eft également éloigné des points C, D; le point B l'eft auffi*, puif-* N.18. que BC & BD font rayons du même cercle: donc AB qui a deux points également diftans, chacun, de C, D, eft perpendiculaire'

PROPOSITION IV.

*N.25.

97. Les deux angles ABC, Fig $9. CBD, faits par une oblique CB fur une ligne droite, valent deux droits. Prisenfemble, ils ont pour mefure la demi-circonférence ACD décrite du centre B, mefure de deux droits : donc ils valent *N.94. deux droits.

PROPOSITION V.

98. Deux Angles oppofés au fom- Fig. 5 qu met font égaux.

1o. Les aigus ABE, CBD,

font égaux*: car joints féparé-* N. 8.

ment avec le même obtus ABC, *N.97. ils valent deux droits *.

2o. Les obtus ABC, DBE font égaux par la même raison.

*N.93. 3. Tous les droits font égaux *. Donc les angles oppofés au fommet font égaux.

*N.93.

Sinus des angles, ou des arcs, mefures des angles*, c'eft même

chose.

Cela pofé,

PROPOSITION VI.

99. Deux angles de même espèce qui ont les Sinus égaux, font égaux. Ces angles ont pour mesure

*N.88. des arcs égaux*, puifque les Sinus égaux donnent des arcs égaux: donc ils font égaux.

PROPOSITION. VII.

100. Les angles égaux ont des fi

nus égaux.

Ces angles ont pour mesure

des arcs égaux: or les arcs égaux donnent des finus égaux *.

PROPOSITION VIII.

*N.56.

101. Une oblique BC entre deux Fig.60. paralleles AB, CD, fait les angles alternes égaux.

Je dis d'abord que les alternes aigus ABC, BCD* font égaux. *N.93. 1o. De B, décrivez l'arc CE; & de C, l'arc BF: ce font deux arcs de cercles égaux, puifqu'ils ont même rayon, BC=CB.

2o. Tirez les perpendiculaires CA, BD: elles font finus des angles* ABC, BCD, & ces finus * N.86. font égaux étant perpendiculaires& 98. entre mêmes paralleles *.

Ainfi les angles ABC, BCD, ont des finus égaux, & par conféquent des arcs égaux *.

Donc ayant mefures égales; ils

font égaux.

Je dis en fecond lieu que les

*N.40.

*N.88,

Fig.61.

*N.97.

alternes obtus BCG, CBH font égaux.

L'obtus BCG avec l'aigu BCD vaut deux droits *.

L'obtus CBH avec l'aigu ABC

* N. == BCD *, vaut auffi deux droits.

Donc les obtus BCG, CBH * N. 8. font égaux *, puifque deux grandeurs, qui jointes féparément avec grandeurs égales, font grandeurs égales, font égales.

Fig.60.

PROPOSITION IX.

102. Deux lignes AB, CD; font paralleles lorsqu'une ligne BC qui les coupe, fait les angles alternes égaux.

1o. Les angles alternes ABC; BCD, étant égaux, les arcs CE, BF, qui en font la mefure, & par conféquent les Sinus CA, BD, *N.89. font égaux *.

2o. Ces deux Sinus égaux font N.86.deux perpendiculaires égales

*