Fig. 83. çons par circonfcrire un cercle au Triangle ABC.

1o. Ayant pris les fommets A, B, C, pour trois points donnés joints par les deux lignes AB, BC, je tire fur le milieu des deux lignes deux perpendiculaires EF, GH *N.42. qui fe coupent dansun point D*. 2o. Du point de fection D, comme centre, je décris par les *N.68. fommets A, B, C, un cercle * * N. & c'eft le cercle circonfcrit*.

120.

PROPOSITION I.

122. Les trois angles d'un Trian

Fig. 84. gle, pris ensemble, font égaux à deux droits.

Les trois angles A, B, C, du Triangle infcrit, ont pour mefure la moitié des trois arcs AB, BC, CA, fur lefquels ils font ap*N. puyés, & par conféquent la va114. leur de la demi- circonférence : *N.94. donc *, pris enfemble, ils font égaux à deux droits.

Ainfi la valeur des trois angles.

d'un Triangle eft de 180 dégrés, valeur de 2 droits.

De-là, 1°. Le Triangle n'a qu'un angle obtus ou droit ; puifque s'il en avoit deux, il vaudroit plus de 180 dégrés, par conféquent il a deux angles aigus; & sị deux côtés font perpendiculaires P'un fur l'autre, le 3e. eft incliné fur les deux, faifant avec eux deux angles aigus.

2°. Le Triangle peut avoir trois angles aigus: car trois angles aigus de 60 dégrés chacun, valent deux droits précisément, ou 180 dégrés.

3o. Dès que l'on connoît deux angles d'un Triangle, on connoît le troisième.

De 180 dégrés, valeur des trois angles du Triangle, ôtez la fomme des deux angles connus le refte eft la valeur du troisième. PROPOSITION II.

123 Dans un Triangle, deux Fig.85.

côtés, pris enfemble, font plus grands que le troisième.

Je dis que AB+ BC > AC. ABBC eft ligne courbe ; & AC ligne droite entre mêmes points A, C: donc AB+BC

*N.15. AC*.

Fig. 86.

*N.57.

PROPOSITION IlI.

124. Dans un Triangle, le plus grand côté eft oppose au plus grand angle; & le plus grand angle, au plus grand côté.

1o. Le plus grand côté AC foutient le plus grand arc ADC*, me*N.93. fure du plus grand angle ABC*; donc le plus grand côté AC eft oppofé au plus grand angle ABC. 2o. Le plus grand angle ABC a pour mesure le plus grand arc ADC foutenu par le plus grand *N.56. côté AC*: donc le plus grand angle ABC eft oppofé au plus grand côté AC.

125. De-là, 1o. Les angles op

pofés à côtés égaux font égaux, & les côtés oppofés à angles égaux, font égaux.

2o. Si un angle compris entre Fig.87. 'deux côtés déterminés croît, l'arc & le côté oppofé croîtront; & par conféquent, fi l'angle droit BFC, par exemple, devient l'obtus BFD, le fecond côté oppofé BD fera plus grand que

mier BC.

le pre

3o. Si d'un point B dans le cercle, mais hors du centre F, on tire plufieurs lignes BC, BD, à la circonférence, la ligne la plus proche de la perpendiculaire BFE qui paffe par le centre, ou qui eft la plus longue *, eft plus *N.7§. longue que la plus éloignée, puifque BD> BC.

4°. D'un point B hors du centre F, on tire bien deux lignes égales*: auffi F centre, & point *N.77. de la perpendiculaire FB, étant également éloigné des points C,

*N.23.Ģ; le point B l'eft *: donc BG BC: mais on ne tire que deux lignes égales, puifque BD BC.

Fig.88.

* N.

720.

PROPOSITION IV.

126. Dans le Triangle Scalene FGH, les trois angles F, G, H font inégaux.

Les trois côtés le font * & par

* N. conféquent les trois angles *.

125.

PROPOSITION V. 127. Dans le Triangle Ifocele

Fig. 89. IKL, les deux angles I, L, fur la bafe font égaux.

Les deux côtés IK, KL, opN.pofés à ces angles, étant égaux *, 720. les angles le font *.

*

725.

N.

De-là, 1°. Dans le Triangle Ifocele, point d'angle obtus ou droit fur la bafe; autrement les deux angles fur la base seroient obtus ou droits; & par conféquent les trois angles du Triangle vaudroient plus de deux droits; ce 122. qui n'eft pas possible *.

*N.