deux points oppofés de la ligne qu'elle coupe.

24. EUDOXE. Ainfi, une ligne dont chaque point eft également éloigné de deux points oppof's d'une ligne droite, eft une perpendiculaire.

ARISTE. Sans doute.

PROPOSITION II.

le

25. La pofition d'une perpendiculaire dépend de deux de fes points. Fig. 5. Si le point B, aufsi-bien que point A, fe trouve également, éloigné des points oppofés C, D; je dis que la droite ABE eft perpendiculaire.

*N.16.

Voulez-vous qu'un autre point E de la droite ABE foit plus proche de C que de D, par exemple, en F? ABE ABF fera une ligne courbe* contre la fup-. pofition, puifque ABF allant de A en F, s'écartera de la droite AF, ou de la droite ABE.

Donc chacun des points de la droite ABE étant également éloigné des points oppofés C,D, elle eft perpendiculaire *.

26. EUDOXE. Ainfi, dès que deux points d'une ligne font également éloignés, chacun, de deux points de la ligne qu'elle coupe, tous le font, & elle eft perpendiculaire.

PROPOSITION III.

*N.24

27. ARISTE. Et fi une ligne AC Fig. 6 eft perpendiculaire fur une ligne DE, celle-ci l'eft fur celle là.

Comme les points A, C, font également éloignés des points D, E*, les points D, E, le font *N.23. des points A, C: donc, de même que AC eft perpendiculaire fur DE, DE l'eft fur AC.

PROBLÉME I.

28. EUDOXE. D'un point donné Fig. 7à A hors d'une ligne BC, tirer une

perpendiculaire fur cette ligne BC. ARISTE. t. Du point donné A, comme centre, je décris un arc de cercle coupant en deux points B, C, la ligne donnée.

2o. Avec même ouverture de compas, mais plus petite que la première je décris des deux points de fection B, C, deux arcs qui fe coupent dans un point D. 3°. Par les points A, D, je mene la droite ADE; & je dis qu'elle perpendiculaire.

eft

Le point A eft également éloi*N.18. gné des deux points B, C, puifque la diftance de part & d'autre a pour mesure des rayons AB, AĈ, du même cercle. Le point D l'eft de même, fa diftance ayant pour mesure des rayons BD CD, de cercles égaux, par la construction. Or une ligne qui a deux points également éloignés de deux points d'une ligne, eft *N.26. perpendiculaire fur cette ligne *:

donc ADE eft perpendiculaire. S'il falloit abaiffer la perpendiculaire fur l'extrémité E d'une ligne CE, l'on pourroit prolonger la ligne CE en B.

PROBLÉME II.

29. EUDOXE. D'un point donné A dans une ligne BAC, élever une perpendiculaire.

ARISTE. 1°. Du point A, je décris un arc qui coupe en deux points B, C, la ligne donnée. 2o. De ces points, je décris avec même ouverture de compas deux arcs qui fe coupent en D.

Fig. 8

3o. J'éleve la droite AD, & je dis qu'elle eft perpendiculaire. Le point A eft également éloigné des points oppofés B, C *, *N.18; puifque fa diftance eft mefurée par les rayons AB, AC, du même cercle; le point D' l'eft de même par la même raison: donc AD eft perpendiculaire *.

*N.28

Fig. 9.

PROBLÉME III.

30. EUDOXE. Divifer une ligne en deux parties égales.

ARISTE. 1°. Des points A, B, je décris avec même ouverture deux arcs qui fe coupent en deux points C, D.

2o. J'abaiffe la ligne CD, qui coupe en E la ligne donnée AB; & je dis que EB= EA.

Je tire les rayons égaux AC,

*N.18. AD, BC, BD*.

Les deux points C, D font également éloignés des points oppo*N.18. fés A, B*: donc CED est per*N.26. pendiculaire fur AB*: donc le point E de la ligne CED eft également éloigné des points A,B*: donc EB= - EA.

*N.23.

EUDOXE. Par la même opération, avec même ouverture de compas, on partagera, ce femble, une ligne en 4, en 8, en 16, &c. Continuez de nous éclai rer.