que membre de cette inégalité par c. Ce qu'il falloit pre mierement démontrer. L'on a encore (Hyp.) ab, donc en multipliant chaque membre de cette inégalité par c, & divifant chaque ←> -. Ce qu'il falloit en second lieu démontrer. 응> Nous avons fuppofé dans la Multiplication, & dans la Divifion, que+x+, &- X donnoit+; & que + x—, ou —×+ donnoit-. En voici la preuve, en fup pofant feulement que+x+donne+, dont perfonne ne doute. 39. Soitab à multiplier parc. Je dis que le produit fera ac-bc: car ayant fuppofé a— -bp; l'on aura en tranfpofant a=p+b, & multipliant cette équation parc, l'on aura ac =pc+bc; donc entransposant, ac bc=pc; donc a b x + c = acbr. b 40. Soit prefentement a-bà multiplier parc. Je dis que le produit fera-ac be: car ayant fuppofé a =p, l'on aura en transposant ap+b; donc en multipliant par -c, l'on aura ( no. 39.) оп ac + bc -ac -pé, donc a — b × — c = -- -pc-bc ac+bc. b: car le produit du b divifeur par le quotient, doit donner le dividende, ce qui n'arriveroit pas fi le quotient étoit+b: car―ax+6 ab, qui n'eft point le dividende. Au contraire -b: =ab, qui eft la quantité à divifer. 42. Il eft de-là évident que ab ab, puifque dans l'un & dans l'autre cas, le quotient doit être négatif, ce que nous avons auffi fuppofé ailleurs. REMARQUE. 1o. TO U T le Calcul algebrique est fondé fur les trois Axiomes précedens, & fur les quatre premiers Theorê mes que l'on vient de démontrer. On n'a démontré les quatre derniers que pour faire voir l'ufage de notre principe, & que par fon moyen, on peut démontrer d'une maniere qui est toujours la même, toutes les proprietez des raports égaux, & inégaux, des proportions, & des progreffions geometriques. 2° L'on remarquera auffi qu'en fuivant le même principe, l'on démontrera avec la même facilité toutes les proprietez desraports,proportions,& progreffions arithmetiques. 3°. Que l'équation qui exprime la confequence ou la verité que l'on veut démontrer, peut toujours être délivrée de fractions, de fignes radicaux, & réduite à fes plus fimples termes, avant que de chercher à lui rendre femblable celle qui renferme l'Hypothefe: car une équation étant vraye dans un état, elle le fera dans tous ceux qu'elle eft capable de recevoir. Il s'agit prefentement d'ajouter, fouftraire, multiplier, divifer, & extraire les racines des raports, ou fractions. ADDITION, ET SOUSTRACTION. 43. POUR les ajouter, on les écrira de fuite fans changer aucun figne; & pour les fouftraire, on les écrira de fuite en changeant les fignes de celles qui doivent être fouftraites, foit que leur dénominateur foit le même, ou non. On leur donnera enfuite un même dénominateur; & aprés avoir réduit (art. 1. n°. 11.) dans l'un & l'autre cas, les numerateurs femblables, on prendra pour la fomme, ou pour la difference, celles des deux expreffions qui fera la plus simple, bb l'on écrira - bb C qui eft une expreffion plus fimple que la premiere. 44.ON multipliera les numerateurs, & enfuite les dénominateurs l'un par l'autre, & les deux produits formeront une fraction que l'on réduira à fon expreffion la plus fimple. "be ać bc ac Soit à multiplier par —. Ayant fuppofé =1,& Ъ d abcc Acc = q. Il faut prouver que pq = = b La premiere fuppofition donne ac= bp, & la fecondq; donc (Axio. 1. Coroll. 1.) abcc = De même xb+, ou (Theor. 3. Coroll. 3.) ab en divifant les deux ab termes par b. Par la même raifon xd, ou DEFINITION. de deux raports differens &, eft appllé raport compofe, ou raifon composée ; & le produit d'un raport, multiplié par lui-même, est appellé raport doublé, ou raifon doublée. i E DIVISIO N. le 46. Le produit du numerateur du dividende par dénominateur du diviseur fera le numerateur du quotient, & le produit du dénominateur du dividende par le numerateur du diviseur, fera le dénominateur du quotient. On réduira enfuite le quotient à fon expreffion la plus fimple. ab ас Soit proposé le rapport à diviser par . Ayant ab с - b supposé "== p, & * = q. Il faut prouver que abb ACC AC bq ac AC De même — divisé par d, ou par —, donne bd 47.I EXTRACTION. Des racines des quantitez fractionnaires. Left clair par les regles de la multiplication des frastions, que pour extraire leurs racines, il n'y a qu'à extraire celle du numerateur, & celle du dénominateur & ces deux racines formeront une fraction, qui fera la racine de la propofée. Ainfi v Il en eft ainfi des autres. 8abbc 2by2ac = bV2ac ᏤᏓ . Les mêmes operations fur les fractions irrationelles n'ont rien de particulier. Fin de l'Introduction. APPLICATION DE L'ALGEBRE A LA GEOMETRIE SECTION PREMIERE. Où l'on donne les définitions et les principes generaux qui fervent pour refoudre les Problêmes, & démontrer les Theorémes de Geometrie. 1. DEFINITION S. L y a deux fortes de propofitions dans la Geometrie, aufquelles on peut appliquer l'Algebre, qui font les Theorêmes & les Problêmes. 1. Les Theorêmes font des propofitions qui contiennent des veritez Geometriques qui ne dépendent d'aucune operation, & qu'il faut feulement démontrer. A |