donc (art. 14) par le point B entre les afymptotes KO, KI, l'Hyperbole BM qui fatisfera au Probleme. DEMONSTRATION. A I 2 1. Şi dans cette équation on fait bo, le point A se confondra avec le point E, & l'on aura y =—a, qui eft une équation à la ligne droite, & qui montre que le point M fe trouvera fur la ligne KO qui partage EB, & CD par le milieu. A PROBLEME INDETERMINE'. 3. U N angle GAH, & un point C, étant donnez de post- F 16. 86, tion fur un Plan. Si l'on mene du point C une infinité de lignes droites comme CDB, qui rencontrent les lignes AG, AH aux points D & B, & que l'on prenne fur chaque CDB un point M, en forte que CM foit toujours à DB dans la raison donnée de mà n. Il faut trouver une équation qui exprime la nature de la courbe qui paffe par tous les points M. le Ayant fuppofé le Problême réfolu, on menera par point donné C & par le cherché M, les lignes CI, MK paralleles à AH, qui rencontreront GA prolongée en I & en K: & ayant nommé les données AI, a; IC, b; & les inconnues IK, x; KM, y; AK fera a―x; & les qualitez du Problême donneront m. n:: IK (x) . AB nx : car à cause des paralleles, IK . AB ::CM . DB, Z nx donc KB—a—x+", & IB = a + & à caufe des m m triangles femblables CIB, MKB, l'on aura b ( IC). a + nx m nx * (IB) :: y (KM). a −x+TM (KB);d'où l'on tire mab ·mbxnbx n may m +xy, qui eft une équation à l'Hy perbole entre ses afymptotes, qu'il faut réduire pour en ma déterminer la pofition. Faisant donc +x=2 l'on a ma n ; *=༢- & mettant cette valeur de x dans l'équation, l'on aura,après avoir ôté ce qui fe détruit, en trans ont leur origine au fommet de l'angle des afymptotes. L'équation réduite & les réductions fourniflent la conftruction fuivante. A cause de la premiere réduction ma prolongera Ai en O, en forte que 10=, & l'on me n nera OQ parallèle à IC; à cause de la feconde réduction, ý → b → b —z, en fuppofant que m surpassen, prolongera OQ du coté de O en R, en forte que OR = l'on mb n -b; & ayant mené RS parallele à IB, les lignes RQ, RS feront les afymptotes, & R, l'origine des inconnues z qui va vers S, &u qui va vers 2. Si l'on prolonge CI en point C. On la décrira par l'article 14. DEMONSTRATION. AYANT mmab = eft en termes algebriques uz = оц nn may n +xy, en remettant pour & pour z leurs valeurs tirées des réductions. C. Q. F. D. 3. Si mn, la ligne RS fe confondroit avec OB,& 10 feroit égale à IA: car l'équation à réduire deviendroit ab=ay + xy, & la premiere réduction feroit a +x=Z & il n'y en auroit point de feconde. 4. PROBLEME INDETERMINE'. DEUX EUX lignes droites AG, BH, dont les extremitez A & F 1 G. 87% B font fixes,& qui étant prolongées concourrent en un point C, étant données de pofition. Soit une autre ligne DE menée librement de l'une à l'autre parallele à une ligne donnée de pofition. Il faut déterminer fur DE, le point M, en forte qu'ayant mené AM & BM, l'angle DAM foit toujours égal à l'angle EBM. Ayant fuppofé le Problême réfolu, on menera BK pa rallele à DE, & ayant divifé l'angle ACB en deux également par la ligne CO, on menera par les points A & B les lignes AF & BI paralleles à CO, qui rencontreront DE en F & en I, & KB en L. Ces paralleles feront données de pofition, & KL, LB ou FI & AL feront données de grandeur. Or puifque par la conft. les angles DAF, EBI font égaux, le Problême fe réduit à trouver fur Fi le point M, en forte que l'angle FAM foit égal à l'angle IBM. Pour en venir à bout, foient menées FP qui fafle avec AF l'angle AFP AFD, ou BIM, & qui rencontre BI en P, & MN parallele à FB. Il eft clair que les triangles FIP, MNI feront ifofceles : = car les angles AFD+AFM=2 droits (conft.) AFP AFM AFM+MFP+ FIP➡MFP+ FIP + IPF donc AFM IPF = FIP. Et parceque le triangle FIP demeure toujours le même, puifque la ligne FI demeure toujours parallele à elle-même, fescôtez feront donnez de grandeur; & les triangles AFM, BNM seront femblables. Nommant donc les données LB, où FI,a; AL,b; IP,c; & les inconnues FM,x; LF,ou BI,y ; MI ou MNsera a—x,& AF, b+y; & les triangles fembla. bles FIP, MIN donneront FI (a). IP ( c ) :: MI, (a— x ). IN =dc—x; donc BN=y+"c— cx ; & à cause des triangles semblables, AF .FM:: BN. NM, ou en termes algebriques, b✈y . x :: y + a a A a d'où l'on tire aabaay — abx — 2axy=acxcxx, qui eft une équation à l'Hyperbole, que l'on peut regarder, ou par rapport à fes diametres, ou par rapport à fes afymptotes mais comme on en a conftruit de femblables dans l'article précedent, en réduifant les équations aux diametres, on conftruira celle-ci en la réduifant aux asymptotes selon l'article 15 n°. 14. L'on a en transposant & divifant par 2a, aabczz -4=2, l'équation se réduit à celle - ci faisant encore yb, l'on aura l'équation ré I duite —— ab — — ac=uz, qui appartient à l'Hyperbole par rapport à fes afymptotes, & où les inconnues & Z ont leur origine au fommet de leur angle. Les réductions & l'équation réduite donnent cette conftruction. Le point Z étant l'origine des inconnus x qui va vers B, &y qui va vers F; à caufe de la premiere reduction a=2, on divifera ZB par le milieu en R, & le point Rfera l'origine de z qui va vers B, & y qui va vers Q ayant mené RQ parallele aBP; à caufe de la feconde ré x 2 ༢. =u, on prolongera QR en S, 2 en forte que RS——6— — LA, & ayant menė ST parallele à RB, le point S fera l'origine des inconnues qui va vers T, &u qui va vers Q, & le fommet de l'angle des afymptotes qui feroient SQ & ST, fi la-seconde réduction étoit y →→6: + ⇒ : mais elle est y → b— =uic'eft pourquoi foit prolongée/Bdu côté de B,qui rencontrera ST en V, & ayant fait vr I 4 C Σ 20 'IP', foit menée Sr, & du point M la ligne MÃ parallele à IB, qui rencontrera ST en X,& Sy enz,& ZX feraz: 24 car SV (+4) VY. (c) SX(2). X2="; & partant a) : 2 24 24 MZ (u) = y + − b ——, & BY=b-, & alors les lignes SQ & Sr feront les afymptotes; & par confequent SZ & ZM, les coordonnées. Il n'eft pas cependant neceffaire de faire évanouir l'expreffion de SXzde l'équation réduite, pour introduire en fa place celle de Sz: car 1°, Soit qu'on le faffe ou non, on trouvera par le moyen de l'équation réduite, que l'Hyperbole doit toujours paffer par le même point: comme en ce cas, où l'équation réduite eft ab — |