2 a=BY × SV, fait connoitre (art. 14. n°. 12 ) que l'Hyperbole doit paffer par le point B; & fi l'on nomme Sr,d; & Sz, f; pour introduire l'expreffion Sz dans l'équation réduite en la place de celle de SX, l'on aura à caufe des triangles femblables SVY, ŚXZ, SV. Sr :: SX. SZ, ou en termes algebriquesa.dz. f, d'ou I l'on tire <=,& mettant dans l'équation réduite ab 4 = = b — — cx d = BYx Sr, montre comme auparavant, que l'Hyperbole doit paffer par le point B. Ce que l'on connoît auffi par l'équation à réduire aab - abx -zaxy = acx faifant Cxx: car +aay a, afin que le point M tombe en B, l'on aura aab→ aay—aab 2aay =aac aac, d'où l'on tire yo; d'où il fuit que l'Hyperbole paffe par le point B, puifque Bis'y anéantit. 2o. Le rectangle S× BY, ou RB BY étant égal à SQ xSx, le rectangle Sr x Br fera (art. 14 no 6) égal au rectangle SQ× Sz; d'où l'on voit qu'il eft en quelque façon plus fimple de réduire ces fortes d'équations aux afymptotes de l'Hyperbole que de les réduire aux diametres. Si donc l'on décrit par le point B entre les afymptotes SQ, Sr l'Hyperbole BM, elle fatisfera au Problême. AYANT DEMONSTRATION. YANT mené d'un point quelconque Mpris fur l'Hy perbole la droite MZX parallele à QS; parla proprieté de l'Hyperbole (art. 14 n° 6), l'on a SV BY=SX × MZ, ou en termes algebriques—ab——— 4 ac z, d'où l'on tire aab cxx acx — abx zaxy pour u & pour 2, leurs valeurs. C.Q. aay, en remettant F.D. COROLLAIRE I Si les paralleles AF, BI étoient perpendiculaires à DE, les points P& N fe confondroient avec le point 1, & IP deviendroit nulle ou o; c'est pourquoi il faudroit effacer tous les termes où c fe trouve dans l'équation à réduire aab cxx acxabx saxy aay, & l'on auroit, ab — bx — 2xy-ay, que l'on conftruiroit comme celle du premier Problême de cet arti cle. I COROLLAIRE II. 6. S1 outre cela le point A tomboit en K, AL — b deviendroit nulle, & l'on auroit xa, en effaçant tous les termes où b se rencontre dans l'équation ab bx=2xy ―ay, & le point M fe trouveroit dans la ligne droite Ro menée par le milieu de KB parallele à IB. 7. LES choses étant fuppofées comme dans l'énoncé du Problême n°. 4. Si 2AL = IP, ou 2b l'équation réduitë c dans abaczu, l'on aura I — ab ==—-ac, & partant zu = 0; d'où il fuit qu'en ce cas I'Hyperbole fe confond avec fes afymptotes, & que par confequent le point M fe trouvera dans la ligne RQ qui eft une des afymptotes. En effet, en ce cas l'équation à réduire devient aab → 2bxx —zabx — 2axy+aay = 0, en mettant 26 en la place de c, qui étant divifée par 2x a=0, il vient bx — ab — ay—o, & l'équation 2x a=o, donne x = a, qui montre que le point 2, M fe trouve dans la ligne R2 menée par le milieu de LB parallele à AL. COROLLAIRE IV. 8. ENFIN GIZAL eft moindre que IP, ou que le point A, fe confonde avec le point K, ou qu'il fe trouve au deffous de K, l'Hyperbole le trouvera de l'autre côté de RQ, & paffera par le point A: car dans l'équation ré. ac=uz, — ac surpassera — ab dans le I duite — ab——— 4 I premier cas; ab sera nulle ou o dans le fecond; & dans le troifiéme, 6 deviendra negative de pofitive qu'elle I I étoit. Ainfi la quantité —abar sera toujours negative, & partant l'Hyperbole fe trouvera de l'autre côté de RQ 9. REMARQUES. LORS ORSQU'ON veut réduire ces fortes d'équations à l'Hyperbole par rapport à ses afymptotes, il faut ob. ferver 1°. Que fi la lettre inconnue qui n'eft point quarrée dans l'équation, fe trouve multipliée par une quantité connue dans quelqu'un de fes termes, autre que dans celui où elle fe trouve multipliée par l'inconnue qui eft quarrée, il faut mettre tous les termes où l'inconnue qui n'eft point quarrée fe trouve dans un des membres de l'équation, & tous les autres termes dans l'autre, & faire la premiere réduction fur le membre où l'inconnue qui n'eft point quarrée fe trouve. 2o. Dans la feconde réduction ( qui feroit la feule, fi la lettre inconnue qui n'eft point quarrée ne fe trouvoit point feule dans quelque terme de l'équation) la lettre inconnue qui n'eft point quarrée doit toujours être pofitive. 3o. Dans Pune & l'autre réduction, l'inconnue qui n'eft point quarrée, doit toujours être délivrée de toute quantité connue. 4°. Quand on ne veut point fe donner la peine de faire toutes ces réflexions, il n'y a qu'à réduire ces équa tions à l'Hyperbole, en les regardant par rapport à fes diametres, où il n'y a aucune précaution à prendre. Il faut éclaircir ceci par un exemple. ΙΟ. SOIT IT l'équation EXEMPLE aab cxx — abx — acx 24 I 2 = xy———ay, qui eft celle que l'on vient de conftruire. Si on suppose que le point A tombe en K, ALb deviendra nulle ou=0; c'eft pourquoi en effaçant tous les termes où 6 se rencontre, l'on aura *=xy — — ay que l'on se propose de réduire à l'Hyperbole par rapport à fes afymptotes, & dont les termes font difpofez dans l'un & l'autre membre de l'équation felon ce qui eft dit dans le premier cas de la remarque précedente. I 24 2 Faisant donc xa=z, l'on réduira l'équation à celle-ci czz — zayz =—aac, ou 24 faudroit pour =; mais parceque l'inconnue y qui n'eft point quarrée dans l'équation à réduire se trouve negative dans cette seconde réduction, & qu'elle y doit être pofitive, les réductions que l'on vient de faire ne ferviront de rien. Il faut donc changer les fignes de tous les termes de l'équation pour la réduire de nouveau, & l'on aura =—=—ay—xy ; & en faisant —a—x=2, l'on rédui ra l'équation à celle-ci ac=zy+, & faisant y +==z, l'on aura auraa aczu. Les réductions & l'é quation réduite ferviront à décrire l'Hyperbole, qui paffe A a |