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nées KL, a; MN,6; & les inconnues x&y; l'on aura suivant les termes de la question a .xix. , &x.y::y. 6, d'où l'on tire ay=xx,

& =yy , qui sont deux équa. cions a la parabole ; & faisant évanouir l'inconnue y, l'on aura x = aab, qui est une équation du troisiéme degré, montre que le Problême est Solide.

Mais parceque deux équations à la parabole étant combinées par addition ou soustraction, peuvent toujonrs donner une équation au cercle , attendu que l'équation à la parabole ne renferme qu'un quarré inconnu qui peut toujours être delivré de toute quantité connue ; il suit qu'on peut construire ce Problême par le moyen de l'une des deux équations precedentes, & de l'équation au cercle qui résulte de la combinaison des deux mêmes équations par addition, qui est ay + bx = xx+yy: Ec parceque les deux premieres équations ay

=XX, & 6x

= yy sont également simples, on peut indifferemment se servir de celle qu'on voudra. Prenons donc la premiere ay=xx. Pour la construire, soit A l'origine des inconnues x qui va vers, &y, qui va vers perpendiculaire à AG; le même point A sera aussi le fommet de l'axe AG de la parabole qu'il faut décrire, puisque l'équation ay=xx, n'a point besoin de réduction; il n'y a donc qu'à décrire (art. 10. no. 11 ) sur l'axe AG une parabole dont le parametre soit la ligne donnée KL=a.

Pour construire presentement l'équation au cercle ay + bx= xx+yy; soit fait -- pour la réduire ys

a ",&x-b=k; & l'on aura l'équation réduite

aa + b6 uu=k, qui avec les réductions donne cette construction.

Le point A étant toujours l'origine des inconnues y & x; à cause de lapremiere réduction y - a=u, l'on

prendra

* H AG

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4

ز

prendra AC= _=_KL, & ayant mené CO parallele à AD ; à cause de la seconde réduđion x 6 =x; on prendra fur co, ce=_b=MN, & le point E sera l'origine des inconnues , qui va vers 0,&u, parallele à AG, & le centre du cercle qu'il faut décrire: mais Vaa +

VA aa + <bb, qui est la racine du terme connu de l'équation réduite , est le demi diametre du même cercle ; c'est pourquoi fi du centre E par A, on décrit un cercle , il coupera la parabole en un point 2, par

ou ayant mené QP parallele AH; PO & P A leront les deux moyennes proportionnelles qu'il

falloit trouver. DÉMONSTRATION. Il est clair que le cercle coupe AG & AH en 7 & en D, de maniere que AI= 2ĂC=KL=a, & AD= 2CE=MN=b. Ainsi PI = PA --- Al=y-a, PF = AD-Pl=b- - *. Or par la proprieté du cercle AP* PI=PM*PF, ou en termes algebriques, yy --- ay=bx - xx, ou yy — bx=ay — xx: mais ( art. 10 ) ay = xx; donc yy — bx=0, ou yy= bx. Or ay= xx donne Al, ou KL. PQ :: PQ: PA, & yy=bx donne PQ.PA::PA. AD, ou MN ; donc KL, PL, PA,& MN sont continuellement proportionnelles, C.Q.F.D.

&

EXEMPLE III.

fi

Problême Solide.
F16. 91.4. Une courbe AM, dont l'axe eft AP, fon sommet A,

un point D au dedans ou au dehors de cette courbe, étant donnez
de position sur un Plan. Il faut mener du point D une ligne
droite DMC, qui coupe la courbe AM, ou fa tangente au
point M à angles droits.

Ayant supposé le Problême resolu, soient menées les droites DB & MP perpendiculaires à AC ; du point M la droite ME parallele à AC , qui rencontrera DB en E; & par le point M la tangente MT.Nommant presentement les données AB,b; DB,C;&les indéterminées AP, * ; PM,y; &PT, t; BP ou ME sera b + x le point B est hors de la courbe, & DE, ---y.

Langle CMT étant droit par l'Hypotese, les triangles MPT, CPM & MED seront semblables; c'est pour. quoi l'on aura y ( MP).t( PT ) :: x + 6(EM).C-, (ED); donccy-yy=tx+bt, qui est une équation generale pour toutes les courbes AM,& que l'on déterminera à telle courbe

que
l'on voudra, у

substituant en la place de t, l'expression de la soutangente PT.

Si l'on veut par exemple que la courbe AM soir une parabole; PT lera ( art. 1 no. 6)=2x=t

=2x=t; c'est pourquoi en mettant pour t sa valeur 2x, l'on aura cy — yy = 2xx + 2bx , qui est une équation à l'Ellipse ; & nommant le parametre de la parabole a , l'on aura ( art. 10) ax=yy , qui est l'équation à la parabole AM.

Si l'on fait évanouir x, l'on aura une équation du troi. fiéme degré, qui ne peut être réduite ; & par consequent le Problème proposé est solide. Mais lorsqu'on a une équation à la Parabole , & une à l'Ellipse, ou à l'Hyperbole par rapport

à ses diametres ou les inconnues ne se multiplient point, on peut toujours par leur moyen trou. ver une équation au cercle en cette forte.

en

.

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ax =yy ;

DECI prelas minet

+*,

1

criang et po ). ation:

Aprés avoir délivré dans l'équation à l'Ellipse, ou à l'Hyperbole, le quarré de l'inconnue qui n'est point quarrée dans l'équation à la parabole, de toute quantité connue, l'on fera évanouir le quarré de l'autre inconnue, & l'équation qui en resultera sera une équation à la parabole, qui étant combinée avec la premiere par addicion, ou soustraction, donnera une équation au cercle. Ainsi en divisant par 2 l'équation précedente cy—yy= 2xx+2bx, l'on a cy- yy=xx+bx, & mettant pour yy sa valeur ax, prise dans l'équation à la parabole

l'on aura – cy-ax= xx+bx , qui est une autre équation à la parabole ; & en combinant par addition ces deux équations à la parabole , l'on aura cy — ax+ax

ax+ax=xx+bx+yy, ou . + ax= xx+bx+yy, qui est une équation au cercle.

Quoique l'on pûr construire le Problême par le moyen de l'equation au cercle , & de la seconde équation à la parabole ; il est neanmoins à propos de se servir de la premiere ax=yy, parcequ'elle appartient à la parabole donnée AM qui se trouve toute construite; c'est pourquoi il ne reste qu'à construire l'équation au cercle, afin que le Problême soit entierement résolu.

L'équation au cercle étant réduite, donne avec les réductions, cette construction.

Ayant pris AF = 1,5-a, on menera FG pa-
rallele BD &=-, & du centre G par A, l'on dé-
crira un cercle qui coupera la parabole au point cher.
ché M.

DE'MONSTRATION.
A vant joint GA , & mené G1 parallele à AP, qui
rencontrera PM en H , & la circonference du cercle

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en 1 , l'on aura par la proprieté du cercle, GA ou GI

GH=HM”, ou en termes algebriques 66. ab+saa+ fasc—-**- bx— 6b+ $ as

ab is aa=yy — cytioce, qui se réduit à *x+bxax=2y—yy

. L'on a aussi par la proprieté de la parabole ax=yy , qui étant combinée

par addition avec l'équation precedente donne xx + bx =, ou 1xx+ zbx

ou 2xx+ zbx=cy - yy (en mettant pour ax sa valeur yy , en multipliant par 2 & transposant ) qui est l'équation que l'on a construite. C. Q. F. D.

E x E M P L E V.

.f

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F1 G. 92. 5.

Problême Solide. I I faut décrire un triangle CBD rectangle en B, dont on connoit le plus grand ED des deux segmens de la base faits par la perpendiculaire BE,

qui tombe de l'angle droit B sur la base CD, e la difference DF des coteze.

Ayant fupposé le Problême réfolu, & nommé les donnéęs ED, a; DF,6; & les inconnues EC , *; CB, ou BF,y; CD sera x + a; & BD,y+b; l'on aura à cause des triangles rectangles CEB, BED, CB CE DB- DE, & en termes algebriques yy

xx = yg + 2by+bb aa, ou xxaaa — aby 66, qui est une équation à la parabole.

A cause des triangles semblables DCB, BCE, l'on aura 2 + x (DC).9(CB) ::y.x(CE); donc yy=axt xx, qui est une équation à l'Hyperbole équilatere.

Si l'on fait presentemene évanouir l'une des deux inconnues, on aura une équation du qu atriemedegré, qui ne pouvant être réduite à une équation du seconi, montre que le Problême est solide.

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