Or quoique les lignes exprimées par les deux inconhues x &y, n'ayent point les qualitez dont il eft parlé dans la premiere Obfervation de l'article 4. Neanmoins, parceque l'on peut toujours trouver une équation au cercle quand on a deux équations indéterminées du fecond degré où les deux inconnues ne font point multipliées entr'elles,quoiqu'il n'y en ait aucune des deux à à la parabole, on peut par leur moyen conftruire le Problême, comme on va voir par cet exemple. ax, tion xx aa - La feconde équation yyax + xx donne xxyy— & mettant cette valeur de xx dans la premiere équa2by - bb, qui eft à la parabole, l'on aura yy ax = ad- 2by-bb, qui eft une autre équation à la parabole; & en ajoutant les deux premiers & les deux feconds membres de ces deux équations à la parabole, l'on aura xxyy — ax=2aa — 4by — 2bb, ou xx―ax +yy✦4by: -26b, quieft une équa tion au cercle. Pour réduire cette équation, foit fait x -- ¢༢. & y+2b=« ; l'on aura zg== aazbb-uu, qui avec 4 les réductions fournit cette construction. Soit le point A l'origine des inconnues x, qui va FIG. 93, vers G, &y qu'on fuppofe perpendiculaire à AG, & qui va en haut. A caufe de la premiere réduction x I a 2 par R la =2, on prendra AR= +Hque l'on détermi nera en prolongeant Pour conftruire prefentement l'une des deux équa- RA en H, en ax= tions à la parabole, par exemple la feconde yy pour l'on pro la réduire y+b=f,&x+a=t, & l'on aura at, qui donne avec fes réductions cette construction, A caufe de la feconde réduction xat, longera AG du côte de A en H, en forte que AH-a, & ayant mené HK perpendiculaire à AH; à cause de la premiere réduction y+b=/; on prendra HK=b, l'on menera KS parallele à AG, & l'on décrira (art. 10 n°. 11) fur l'axe KS, dont le fommet est K, une parabole par le moyen de l'équation réduite fat. Cette para, bole coupera le cercle en deux points M & N, de ma, FIG. 92, niere qu'ayant abaiffé des points M & Nles perpendicu 93. laires MP, NQ; PM fera la valeur pofitive de y=CB; NO,fa valeur negative; & AP,la valeur de x=EC. De forte que fi l'on fait EC AP, & qu'on décrive fur le diametre DC un demi cercle dans lequel ayant ajusté CB=PM, & mené BD, le triangle CBD fera celui qu'il falloit décrire, AY A DEMONSTRATION. YANT joint IH & mené par le centre o le diametre VOT parallele à AG qui rencontrera MP prolongée en de part ou d'autre du point O. Par la conftruction, & par la proprieté du cercle, l'on aurą IH2, ou OV2, ou 0T2—0X2 = XM2, ou en termes algebriques aa +266 xxax- aayy✈ 4by+4bb, ou 2aa— xx+ax=yy+4by + 2bb. oụ Par la proprieté de la parabole KM dont le parametre eft a, l'on aura a x KL=LM', ou ax + aayy + 2by +bb, ou en fouftrayant la feconde équation de la premiere, le premier membre du premier; & le second du fecond, l'on aura aa-xx―: 2by+bb, qui eft la premiere équation du Problême, & en fouftrayant cette équation de la précedente, chaque membre de chaque membre, l'on aura axxxyy, qui eft la feconde équation du Problême. C. Q. F. D. SECTION X. Cù l'on donne la Méthode de conftruire les Problêmes Solides par le moyen de leurs équations déterminées; ou ce qui eft la même chofe, de conftruire les équations déterminées du troifiéme, & du quatriéme vienas i degré. XXIV. METHOD E. OIT qu'on ait employé deux ou plufieurs lettres inconnues ou qu'on n'en ait employé qu'une pour réfoudre un Problême, quand on est venu à une équation déterminée du troifiéme ou du quatrième degré, qui ne peut être réduite à une équation du fecond, le Problême eft neceffairement Solide, comme on a déja dit ailleurs, & on le pourra toujours conftruire par le moyen de cette équation, en obfervant les régles qui fuivent. 1. Si l'équation a un fecond terme, on le fera premierement évanouir. Cela fait. 2. Si l'équation eft du troifiéme degré, on la multipliera par l'inconnue qu'elle renferme pour la rendre. du quatrième. 3. On trouvera une équation à la parabole dont un des membres fera le quarré de la lettre inconnue de l'équation que l'on veut conftruire, & l'autre membre fera le produit d'une autre lettre inconnue par une lettre connue quelconque, ou plûtôt par une des lettres connues qui fe trouve le plus frequemment dans l'équation à conftruire :car par ce moyen on rend la conftruction un peu plus fimple. : VIVE + formera + CD 4. On fera évanouir l'inconnue de l'équation à conftruire dans le premier & dans le troifiéme terme: (car on fuppofe qu'elle n'en a point de fecond) en fubftituant en fa place, fa valeur prise dans l'équation à la parabole que l'on a formée, & l'équation qui en résultera sera une autre équation à la parabole. 5. On combinera par addition ou fouftraction ces deux équations à la parabole, de maniere que l'équation qui en réfulte foit une équation au cercle. 6. On conftruira l'équation au cercle, & la plus fim. ple des deux équations à la parabole, comme dans lą Section précedente, en fuppofant que les lignes expri mées par les deux inconnues font un angle droit, & les Interfections de ces deux courbes donneront les racines, ou valeurs tant pofitives que négatives de l'inconnue de l'équation à construire. Tout ceci fera éclairci par les exemples qui fuivent. 7. EXEMPLE I. Problême Solide, TROUVER une ligne dont le cube foit au cube d'une ligne donnee CD, dans la raifon donnée de mà n. Ayant fuppofé le Problême réfolu, & nommé la donnée AB, a; & l'inconnue x, l'on aura par la condition as du Problême 3, a3 :: m, n, d'où l'on tire x3 qui eft une équation du troifiéme degré, qui ne pouvant être réduite à une équation du fecond; il fuit que le Problême eft Solide. En multipliant cette équation par x, l'on aura x* n , & faisant (no 3 ) ay=xx, qui est une équation à la parabole, l'on a aayy=x+ ; & mettant dans l'équation à construire pour + fa valeur aayy, l'on tion à la parabole. Et combinant ces deux équations à la parabole par addition ou soustraction, l'on aura yy - ay n xx, qui est une équation au cercle dont la conftruction jointe avec celle de l'équation à la parabo. le ay xx, réfoudra le Problême. Soit le point A l'origine des inconnues y qui va vers G, F 1 c. 94. &x qui lui est perpendiculaire. Et foit décrite (art. 10 n°.11) fur l'axe AG dont le fommet eft A la parabole AH, dont le parametre soit a = B. Cette parabole fera + CD celle dont l'équation est ay =xx. L'équation au cercle étant réduite donnera avec les réductions cette conftruction. Ayant pris fur AG, AI=a=— CD, on éleve 2 ra au point I la ligne IK perpendiculaire à AG & égale ma 2n & du centre K par A, l'on décrira un cercle qui coupera la parabole AH au point M, par où l'on menera la droite MP parallele à IK ; je dis que MP exprimée par x qui eft l'inconnue de l'équation x3 que l'on vient de construire, est le côté du cube qu'il falloit trouver. DEMONSTRATION. mai n AYANT joint AK, & mené KOR parallele à AP qui rencontrera le cercle en R, & PMen O. L'on a par la proprieté du cercle, KA, ou KR2 — KO' —OM2, ce qui est en termes algebriques I aa + mmaa -yyay— Xx max Mais à caufe de la parabole l'on a (art. 10 ayxx; donc yy= ; mettant donc dans l'équa Cc |