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aura yy

Or quoique les lignes exprimées par les deux incon. nues x &y, n'ayene point les qualitez dont il est parlé dans la premiere Observation de l'article 4. Neanmoins, parceque l'on peut toujours trouver une équation au cercle quand on a deux équations indéterminées du second degré où les deux inconnues ne font point multipliées entr'elles,quoiqu'il n'y en ait aucune des deux à la parabole , on peut par leur moyen construire le Problê. me , comme on va voir par cet exemple. .

La seconde équation yy=ax+xx donne xx=yy— ax, & mettant cette valeur de xx dans la premiere équation xx = aa · aby bb, qui est à la parabole , l'on

ax = aa 2by 66, qui est une autre équation à la parabole ; & en ajoutant les deux premiers & les deux seconds membres de ces deux équations à la parabole , l'on aura xx + yy — ax=202 — - 4 by 256, ou xx- ax + yy + 4by 2aa - 26b, qui est une équation au cercle. Pour réduire cette équation, soit fait x - -}ac

등 다 &y+25=u; l'on aura zg= aa - zbb----4u, qui avec les réductions fournir cette construction.

Soit le point A l'origine des inconnues x qui va Fı G. 93, vers G, &y qu’on suppole perpendiculaire à AG; & qui va en haut. A cause de la premiere réduction x =k, on prendra AR= a, & ayant mené par R la perpendiculaire RO; à cause de la feconde réduction

ģ + 2b=u , l'on prendra RO= 26; & le point o lera le centre du cercle qu'il faur décrire ; à cause de 2bb, on prendra RI moyenne proportionnelle entre 26, & b; & du centre 0, &du rayon 13, l'on décrira un cercle. + H que l'on détermi, Pour construire presentement l'une des deux équa- RA en H, en

nera en prolongeant

forte tions à la parabole , par exemple la seconde yy — ax=

= a aa - zby --- bb, ou yy to zby = ax + aa

= ax + aa66" Toit fait que AH =

9

2

pour la réduire

y+b=S,&x+a=t, & l'on auras =at, qui donne avec ses réductions cette construction, A cause de la seconde réduction x + a=t,

l'on

prolongera AG du côte de A en H, en sorte que AH=a, & ayant mené HK perpendiculaire à AH; à cause de la premiere réduction y+b=lion prendra HK=b, l'on menera KS parallelę à AG, & l'on décrira ( art. 10 no. 11 ) sur l'axe Ks, dont le sommet est K, une parabole par le moyen de l'équation réduite / =at. Cette para,

bole coupera le cercle en deux points M & N, de mar FI 6. 92, niere qu'ayant abaissé des points M & N les perpendicu.

93. laires MI, NQ; PM sera la valeur positive de y=CB;

NQ, la valeur négative; & AP,la valeur de x=EC.
forte que si l'on fait EC= AP, & qu'on décrive fur lę
diametre DC un demi cercle dans lequel ayant ajusté
CB=?M, & mené BD, le triangle CBD sera celui
qu'il falloit décrire,

D E'MONSTRATION.
AY

A N T joint IH & mené par le centre o le diametre VOT parallele à AG qui rencontrera MP prolongée en x de part ou d'autre du point 0. Par la construction, & par la proprieté du cercle, l'on aura IH', ou Ov?, ou OT --OX=XM", ou en termes algebriques 2 aa +266

aa=yy+ 4by +46k , ou 2aa *x+ ax=yy+ 4by + 2bb.

Par la proprieté de la parabole KM dont le parametre est a, l'on aura a x. KL=LM’, ou ax + aa=yy + zby + bb, ou en soustrayant la seconde équation de la premiere , le premież membre du premier ; & le second du second, l'on aura aa-xx= 2by+bb, qui est la premiere équation du Problême, & en soustrayant cette équation de la précedente, chaque membre de chaque membre, l'on aura ax +xx'=yy, qui est la seconde équation du Problême. C. Q. F. D.

Xx fax

4

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l'on donne la Méthode de construire les
Problémes Solides

par

le
moyen

de leurs équations déterminées; ou ce qui eft la me chose, de construire les équations terminées du troisiéme, & du quatrieme viskas ; 2:7, degré.

2",
M E T H O D E.
XXIV.

Slettres
O 1 qu’on ait employé deux ou plusieurs
res inconnues , ou qu'on

ou qu'on n'en ait employé qu'une pour résoudre un Probleme, quand on est venu à une équation déterminée du troisiéme ou du quatriéme degré, qui ne peut être réduite à une équation du second, le Problème est necessairement Solide, comme on a déja dit ailleurs, & on le pourra toujours construire

par moyen de cette équation, en observant les régles qui suivent,

1. Si l'équation a un fecond terme, on le fera premierement évanouir. Cela fait.

2. Si l'équation est du troisiéme degré, on la mul. tipliera par l'inconnue qu'elle renferme pour la rendre du quatrieme.

3. 'On trouvera une équation à la parabole dont un *formera des membres sera le quarré de la lettre inconnue de l'équation que l'on veut construire, & l'autre membre serà le produit d'une autre lettre inconnue par une lettre connue quelconque , ou plûtôt par une des lettres connues qui se trouve le plus frequemment dans l'équation à construire : car par ce moyen on rend la construction un peu plus simple.

le

4. On fera évanouir l'inconnue de l'équation à construire dans le premier & dans le troisiéme terme: ( car on suppose qu'elle n'en a point de second ) en substituant en la place, la valeur prise dans l'équation à la parabole que l'on a formée , & l'équation qui en résultera serą une autre équation à la parabole.

5. On combinera par addition ou soustraction ces deux équations à la parabole, de maniere que l'équation qui en résulte soit une équation au cercle,

6. On construira l'équation au cercle , & la plus sim, ple des deux équations à la parabole, comme dans lą Section précedente , en supposant que les lignes exprimées par les deux inconnues font un angle droit , & les Intersections de ces deux courbes donneront les racines, ou valeurs tant positives que négatives de l'inconnue de l'équation à construirę. Tout ceci ferą éclairci par les exemples qui suivent.

EXEMPLE I.

Probleme Solide, 7. TROUV E R une ligne dont le cube foit au cube d'une ligne donnee CD, dans la saison donnée de m à n,

Ayane supposé le Problême résolu, & nommé la donnée B, a; & l'inconnue x, l'on aura par la condition du Problême *} .am d'où l'on tire x qui est une équation du troisiéme degré, qui ne pouvant être réduite à une équation du second ; il suit que le Problême eft Solide. En multipliant cette équation par x, l'on aura **

& faisant (no 3 ) ay=xx , qui est une équation à la parabole , l'on a aayy=x+ ; & mettant dans l'équation à construire pour x4 sa valeur aayy ,

l'on aura aayy , ou jys qui est une autre équa

cion

+ CD

mo)

no

max

n

max

MAX

MAX

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tion à la parabole. Er combinant ces deux équations à la parabole par addition ou soustraction , l'on aura yy -ay = xx, qui est une équation au cercle dont la .construction jointe avec celle de l'équation à la parabo. le ay = xx, résoudra le Problême.

Soit le point A l'origine des inconnues y qui va vers G, F16.94. & x qui sui est perpendiculaire. Et soit décrite ( art. 10 no.11) sur l'axe AG dont le sommet est A la parabole AH, dont le parametre soit a= TAB. Cette parabole sera + CD celle dont l'équation est ay = xx.

L'équation au cercle étant réduite donnera avec les réductions cette construction.

Ayant pris sur AG, AI=;a=CD, on élevera au point i la ligne IK perpendiculaire à AG & égale

& du centre K par A, l'on décrira un cercle qui coupera la parabole AH au point M, par où l'on menera la droite MP parallele å IK ; je dis que MP exprimée par x qui est l'inconnue de l'équation x?

que l'on vient de construire, est le côté du cube qu'il fal. loit trouver.

DE'MONSTRATION. A YANI

YANT joint AK, & mené KOR parallele à AP qui rencontrera le cercle en R , & PMen o. L'on a par la proprieté du cercle , KA, ou KR KOZOM, ce qui est en termes algebriques

yy tay

qui devient ay — yy = Mais à cause de la parabole l'on a ( art. 10; ay=xx ; donc yy= ; mettant donc dans l'équa

Сс

mal

I

miman

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MAX

mimar

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max

XX

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