K. xx+ ax = yy, qui eft la feconde équation du même REMARQUE. 93. 12. PAR le moyen de cette conftruction, l'on ne FIG. 92. détermine que la grandeur du côté CBPM, au lieu que par la conftruction de la Section précedente, l'on a auffi déterminé la grandeur de CE=AP, d'où l'on voit que lorsqu'on conftruit un Problême folide par le moyen de fon équation déterminée, il n'eft pas entierement réfolu. Il faut encore pour cela réfoudre & conftruire un autre Problême fimple ou Plan; aulieu que lorfqu'on le conftruit par le moyen de fes deux équations indéterminées, il eft entierement réfolu: car les valeurs des deux inconnues fe trouvent toujours déterminées. Ainfi pour achever de réfoudre le Problême, en fuppofant qu'on n'a déterminé que le côté CB par la conftruction précedente. Soit encore CE nommé x; & BD, c'; l'on aura par la proprieté du triangle rectangle x + a (CD). c (BD): c. a ( DE ), d'où l'on tire x = a, qui fervira à déterminer la grandeur CE, & le Problême fera entierement réfolu. 13. L REMARQUES GENERALES Sur la conftruction des Problemes Solides. bb Es conftructions du deuxième & cinquiéme exemples de la Section précedente, comparées avec les conftructions du fecond & du troifiéme de cette Section ; font voir qu'il eft plus à propos de conftruire les Problêmes folides avec deux équations indéterminées, qu'avec une équation déterminée, lorfqu'on le peut. Or on le peut toujours lorfque l'une des équations indéterminées le rapporte au cercle, ou bien lorfque les deux lettres inconnues ne fe multiplient point dans les deux mêmes équations indéterminées: car en ce cas on trouvera toujours une équation au cercle, comme on a fait dans cet exemple. On voit auffi qu'il n'eft pas abfolument neceffaire que les deux lettres inconnues ayent les qualitez marquées dans la premiere Obfervation de l'article 4. On peut même les placer de differentes manieres, & chercher à chaque fois deux équations: car on trouve fou. vent des équations plus fimples en les plaçant d'une maniere, qu'en les plaçant d'une autre. 14. Quoiqu'on n'ait employé dans cette Section que le cercle & la parabole pour la conftruction des Problêmes folides, cela n'empêche pas qu'on ne puiffe les contruire avec celle qu'on voudra des Sections coniques : car on peut tirer d'une équation déterminée du troifiéme & du quatrième degré des équations à l'Ellipfe, & à l'Hyperbole comme on en a tiré une équation au cercle, avec cette difference feule qu'on ne peut tirer d'une éqnation du quatrième degré, une équation à l'Hyperbole par rapport à fes afymptotes, & qu'on la peut tirer d'une équation du troisième. Soit par exemple A. x3 — zaax—aab, qui est l'équation de l'exemple 2. xx, ay pour En fuppofant B. ay xx, & mettant en la place de xx fa valeur ay, l'on aura C. xy=zax — b, b, qui eft une équation à l'Hyperbole par rapport à fes afymptotes, Et multipliant l'équation Cparx, & mettant enfuite fa valeur dans le premier terme, l'on aura D. yy =3xx bx, qui eft une équation à l'Hyperbole par rapport à fes diametres, comme celle de l'art 14 n° 13, & mettant encore pour xx fa valeur ay dans l'équation D; il viendra E. yy=zay bx, qui eft une équation à la parabole. En ajoutant les deux membres des deux équations B & E, le premier au premier, & le second au fecond, l'on aura yy xx zay- bx, qui eft une équation à l'Hyperbole équilatere. Si l'on ajoute le fecond membre de l'équation B au premier de l'équation E & le premier au fecond, l'on aura yy + xx = 4ay 4ay-bx, qui eft une équation au cercle. Si on multiplie l'équaon B par un nombre quelconque entier ou rompu, ou par de la par une fraction litterale, comme avant que combiner avec l'équation F, comme on vient de faire; l'on aura une équation à l'Hyperbole, & une à l'Ellipfe. On peut de même combiner deux des équations précedentes prifes à volonté, & enfuite celles qui résultent de ces combinaisons, ce qui donnera une infinité d'équations aux Sections coniques, de l'une defquelles on pourra fe fervir avec l'équation au cercle. 15. On tirera de la même maniere d'une équation du quatrième degré qui n'a point de fecond terme, des équations aux Sections coniques, & une au cercle: mais on n'en trouvera point à l'Hyperbole par rapport à fes afymptotes: où l'on remarquera que fi l'on tiroit deux équations au cercle d'une équation du troifiéme ou du quatrième degré, le Problême feroit plan, & l'équation fe pourroit réduire à une équation du fecond degré. 16- On peut encore conftruire les Problêmes folides avec l'équation au cercle, & telle Section conique qu'on voudra, comme on peut voir dans le Traité de la Conftruction des Equations de M' de la Hire, dont on a fuivi ici la Méthode. 17. On multiplie les équations du troifiéme degré par leur inconnue, pour en tirer une équation à la parabole, differente de celle que l'on forme arbitrairement pour introduire dans l'équation déterminée afin d'en tirer des équations indéterminées : mais cela n'y apporte aucun changement: car les Problêmes du troifième & du quatrième degré font de même nature; & même leurs conftructions ne different qu'en ce que les deux Courbes qu'on y employe paffent par l'origine de l'inconnue de l'équation, quand elle eft du troifiéme degré, & qu'elles n'y paffent pas quand elle eft du qua triéme. D.d SECTION X I. Où l'on donne la Méthode de réfoudre & de conftruire les Problêmes indéterminez, dont les Equations excedent le fecond degré: ou ce qui eft la même chofe, de décrire les courbes dont ces Equations expriment la nature; & de réfoudre & de conftruire les Problêmes déterminez, dont les Equations excedent le quatrième degré, XXV. O METHOD E. N a donné des règles dans la cinquième fixiéme & feptiéme Section pour décrire les courbes du premier genre d'une maniere plus fimple que celles qu'on tireroit naturellement de leurs équations: mais on n'en peut pas donner pour décrire celles des genres plus compofez. Il faudroit avoir examinées les unes aprés les autres; ce qui iroit cela les pour à l'infini: car chaque genre en contient un nombre d'autant plus grand qu'il eft plus compofé, & il une infinité de genres. y a 1. On dira feulement en general qu'après avoir trouvé une équation pour chaque Problême (en obfervant pour nommer les lignes inconnues, ce qui eft prefcrit dans la premiere ou feptiéme Obfervation de l'art. 4), qui exprime la nature de la Courbe qui doit fervir à le réfoudre, qui en détermine le genre, & qui foit réduite à fon expreffion la plus fimple; il faut examiner fpection des termes de l'équation, celle des deux inconpar l'innues dont on peut plus facilement trouver les valeurs en fuivant les regles de la conftruction des équations déterminées, trouver par les mêmes regles les valeurs de cette inconnue, en affignant à l'autre inconnue une va 1eur déterminée, & arbitraire; & l'on aura à chaque fois qu'on affignera à cette inconnue des valeurs arbitraires, autant de points de la courbe qu'on veut décrire, que l'autre inconnue aura de valeurs réelles, pofitives, & negatives. De forte que fi l'inconnue la moins élevée de l'equation, fi elles ne le font pas toutes deux également, à une ou deux dimenfions, on en trouvera les valeurs par les regles de la Section II, en affignant à l'autre inconnue des valeurs arbitraires, & la regardant enfuite comme déterminée. Si elle a trois ou quatre dimenfions, on en trouvera les valeurs par les regles de la Section précedente; & fi elle a un plus grand nombre de dimensions, on en trouvera les valeurs comme on expliquera dans la fuite: mais comme l'on en pourra plus tirer l'équation au cercle, il ne fera point neceffaire d'en faire évanouir le fecond terme, s'il s'y rencontre: où l'on remarquera qu'il faut reiterer la conftruction autant de fois qu'on affignera des valeurs differentes à l'inconnue que l'on prend pour conftante. 2. On peut auffi, aprés avoir trouvé une équation comme on vient de dire, abandonner la premiere & feptiéme Obfervation de l'art. 4, & nommer d'autres lignes par des lettres inconnues, & chercher par ce moyen d'autres équations, qui n'exprimeront pas effectivement la nature de la courbe qui doit réfoudre le Problême, & qui n'en détermineront pas le genre: mais qui pourront fervir à décrire plus fimplement la même courbe, foit par elles-mêmes, ou en faifant évanouir par leur moyen les inconnues de la premiere équation, afin de la rendre plus fimple, & d'en tirer plus facilement la maniere de décrire la même courbe. བ་་ 3. On peut encore tirer de l'équation qui exprime la nature de la courbe qui doit réfoudre un Problême, des équations à quelqu'une des quatre courbes du premier genre, lorfqu'on y trouve l'expreffion de l'appliquée de. quelqu'une des quatre mêmes courbes, en égalant cette expreffion à une troifieme lettre inconnue ou à fon quarré, & la construction de ces équations facilitera |