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tions , il faut 1°. Que l'une des differences avec son inconnue , si elle s'y rencontre, soit dans un des membres de l'équation , & l'autre dans l'autre, &

que

les deux differences soient dans le numerateur, fi l'équation est fractionnaire ; selon cette regle l'équation précedente devient dx=

ady 2°. Qu'en multipliant ou divifant l'équation, s'il est necessaire, par une quantité constante, chaque membre foit un plan dont chaque difference soit un côté. Ainsi l'équation dx = ady deviendra adx=

andy

en multipliant chaque membre par a.

3o. On égalera chaque membre à une nouvelle ina connue , aprés l'avoir divisé par la difference qu'il renferme , & l'on aura par ce moyen deux équations à deux courbes

geometriques, ou une équation à la ligne droite & l'autre à une courbe. Ainsi de l'équation precedente , on tire a =k, qui est une équation à la ligne droite , &

=S, ou aa=y/, qui est une équation à l'Hyperbo. le par rapport à ses asymptotes.

4. Ayant mené deux lignes DG,FP qui se coupent à
à angles droits en A ; on supposera que les
connues qui se trouvent dans l'équation differentielle,
& dans les deux équations que l'on en a tirées, ont leur
origine commune au point d'intersection A, de maniere
que les deux inconnues de chaque équation se trouve sur
les deux lignes qui forment un même angle droit , c'est-
à dire , que fi l'on nomme AP, *; & AQ, Y; qui sont
les deux inconnues de l'équation differentielle pré.
cedente , il faudra necessairement nommer AF,/; &

afin
que

les inconnues y & f de l'équation à l'Hyperbole , forment up même angle droit FAQ, &c.

5.Ondécrira par les regles des Sections 8, ou ni les deux courbes geometriques, chacune dans l'angle , dont les côtez sont exprimez par les inconnues de Ton équation.

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quatre in

AD, ki

Ainsi dans cet Exemple , à cause de l'équation aa=sy
l'on décrira une Hyperbole NN dans l'angle FAQ,
dont les côtez AQ, AF sont nommezy & S, & à cause
de l'équation q=a; ayant fait AD=a=%, l'on me-
nera DS parallele à .
Avant

que

de venir à la construction des équations differentielles, l'on remarquera , 1°. Qu'elles n'apparciennent

pas toutes à des courbes méchaniques; il y en a qui appartiennent à des courbes geometriques : mais l'art de les distinguer dépend du calculinégal que nous + tintegral ne pouvons pas expliquer ici. 2°. Que les inconnues dont les differences se trouvent dans une équation differencielle, expriment ou deux lignes droites, ou l'une exprime une ligne droite , & l'autre une ligne courbe , ce qui fait deux cas. La construction de l'équation de ce Problême, & celle de l'équation du Problême qui suit, où toutes ces deux courbes sont méchaniques, serviront d'Exemples pour l'un & pour l'autre cas.

15. Pour construire l’equation adx= wady, l'on prendra sur AQ=y un point quelconque B,& l'on menera par B la droite BC parallele à AF qui rencontrera l’Hyperbole en C, & le point B sera l'origine de la courbe qu'il faut décrire ; & ayant pris sur AQ un aatre point quelconque e, l'on menera par l la droite QÑ parallele à AF qui rencontrera l'Hyperbole en N. Cela fait, on prendra sur DS le point v , tel qu'ayant mené VP parallele à AD, l'espace ADVP soit égal à l'espace hyperbolique BCNQ; & le point M où les droites NOVP,étant prolongées, se couperont, sera à la courbe cherchée.

DEMONSTRATION.
Arant mené du point m pris sur la courbe BM infi-
niment proche de M, les droites man, mpu, & du poinç
N, la petice droite NI parallele à AQ; ON étant,
Si Aly; Qg, ou Ni sera dy, & partant le petit rectan-

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Say = sady

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gle QNiq=sdy : mais comme le petit triangle Nina tous les côtez infiniment petits, il doit être nul par rapport au petit rectangle (Niq; c'est pourquoi 2 Niq QNng

en remettant pour la valeur De même AD, ou PV étant , 2; & AP , *; PP fera, dx ; & partant le petit rectangle PVup=adx. Mais ( Coust. ) BCNQ=ADVP, & BCnq=ADup; donc QNng= PVup, ou en termes algebriques nady

=

adx. C. Q. F. D.

COROLL AIRE I. 16. Il est clair que la courbe B Mm a pour asymptote son axe AP:car l'espace Hyperbolique BAFGC étant infini, le rectangle ADVP ne lui peut jamais être égal, à moins qu'on ne luppose le point Ž infiniment éloigné de A.

COR O'LL AIR E I I. 17.

L'e'QUATION ydx=ady, où l'Hypotese donne dy.dx :: y. .a, d'où l'on voit que

dx exprime une quantité constante, le rapport de dx à a se.

fi l'on suppose que

ra un rapport constant ; & partant celui de dy à y le F16.111. sera aussi; c'est pourquoi si l'on prend sur l'axe AP tant de

parties égales qu'on voudra PC,CD, DE, &c. chacune
=dx, & qu'on mene par les points P, C, D, E, &c. des
perpendiculaires PM, CF, DG, EH, &c. ces perpendi-
culaires seront continuellement proportionnelles : car
ayant mené par les points M, F, G, &c. Les droites MI,
FK,GL,&c. l'on aura par l'Hypothese PM(y). IF (dy)
:: CF.KG; donc componendo, PM.PM+JF ::CF.CF
+ KG, c'est-à-dire, PM. CF:: CF . DG. Par la même
raison CF, DG:: DG. EH ; &c. De forte que
ties de l'axe PC, PD, PE, &c. ou PN, PO, PQ &c.
prises sur l'axe AP en commençant d'un point quelcon-
que P, croissent ou diminuent en proportion arithmeti-

files par

que,

les perpendiculaires correspondantes CF, DF, EH, &c. ou NR, OS, 2, &c. croîtront, ou diminueront en proportion geometrique ; c'est pourquoi & l'on prend PC pour l'unité de la progression arithmetique PC, PD, PE, &c.& PM pour l'unité de la progression geometrique PM, CF;DG, EH, les termes PC(1), PD ( 2 ), PE(3), &c. de la progression arithmetique , seront les logarithmes des termes correspondans CF, DG, EH, &c. de la progression geometrique , qu'on appelle Nombres , & o, le Logarithme de l'unité PM. C'est à cause de cette propriete que la courbe BMaéré nommée Logarithmique.

COROLL'AIRE III. 18. LA perpendiculaire P M étane nommée 1, si l'on nomme CF, *; DG sera , *?; EH , *?; &c. car à cause de la progression geometrique, l'on a PM(1).CF(x) :: CF (*). DG == EX?; CF(x).DG ( *? ) :: DG (*?). EH = x, &c. Par la même raison NR sera,

; OS, ; W; &c. car CF(x).PM(1):: PM (1). NR=

.

- OS OS

cOr puisque PC =1,PD=2,PE=3, &c. PN sera -1, PO=-2, P2= 3;&c. donc en rengeant ces expressions des perpendiculaires, & celles des parties de l'axe AP, de maniere que l'expression de P Q réponde à celle de Qi celle de Po, à celle de os , &c. l'on aura les deux progressions suivantes, qui se répondrone terme à terme , & chaque terme de la progression arichmetique sera le logarithme de celui qui lui répond dans la progression geometrique.

x

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1

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OU X

2
X

I

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s3

Prog. geom.

. 1.**.**.*}, &c.

x '

*, &c. Prog. arith.-3.-2-1.0.1.2.3, &c.

COROLLAIRE I V. Doù l'on voit , 1°. Que les exposans des puissances 19. en sont les logarithmes. 2°. Que la somme de deux logarithmes, est le logarithme du produit des deux nombres qui leur répondent. Ainsi s(=3+ 2 ) est le logar. de x1=x} xx=xi+2). 3. Que la difference de deux logarithmes, est le logarithme du quotient des deux nombres qui leur répondent. Ainsi 2 (=s- 3 ) est le logarithme de x? (= J. 4°. Que le double , le triple, &c. d'un logarithme , est le logarithme du quarré du cube , &c. du nombre correspondant. Ainsi 41 2+2, est le logarithme de x*)=xxx* =*?*2.5°. Que la moitié, le tiers, &c. d'un logarithme , est le logarithme de la racine quarrée , cube , &c. Ainsi 3 ( égal à la moitié de 6,) est le logarithme de x' =Vx=* Ž

COROLLA I R E V. 20. I fuit ausi des deux Corollaires précedens que le logarithme de la racine d'une puissance multipliée par l'exposant de cette puissance sera le logarithme de la mêine puissance, & qu'on peut par consequent changer une puissance , ou une autre quantité quelconque en lon logarithme , & au contraire : car en supposant les mêmes choses que dans les Corollaires précedens PC=1, étant le logarithme de CF3X;PD=2132PC=2 fois le Logarithme de CF=x), sera le Logarithme de DG =*; PE=3( 3PC= trois fois le Logarithme de PC=%), sera le Logarithme de x': ce qu'on ex, prime en cette forte : L:DG ( L signifie Logarithme) =2LCF, ou L:*=2Lx; L:EH=;ZCF, ou L : x =3Zx. De même, 1:0S(=-?PC)=-2LCF, ou

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