F1 0.110. tions, il faut 1°. Que l'une des differences avec fon inconnue, fi elle s'y rencontre, foit dans un des membres de l'équation, & l'autre dans l'autre, & que les deux differences foient dans le numerateur, fi l'équation est fractionnaire; selon cette regle l'équation précedente devient dx = ady y 2°. Qu'en multipliant ou divifant l'équation, s'il eft neceffaire, par une quantité conftante, chaque membre foit un plan dont chaque difference foit un côté. Ainsi l'équation dx = “dy deviendra adx— andy و pliant chaque membre par a. و en multi 3o. On égalera chaque membre à une nouvelle in. connue, aprés l'avoir divifé par la difference qu'il renferme, & l'on aura par ce moyen deux équations à deux courbes geometriques, ou une équation à la ligne droite & l'autre à une courbe. Ainfi de l'équation precedente, on tire a=, qui eft une équation à la ligne droite, & AA y ·=f, ou aa=yf, qui eft une équation à l'Hyperbole par rapport à fes afymptotes. 4°. Ayant mené deux lignes DQ, FP qui fe coupent à à angles droits en A; on fuppofera que les quatre inconnues qui fe trouvent dans l'équation differentielle, & dans les deux équations que l'on en a tirées, ont leur origine commune au point d'interfection A, de maniere que les deux inconnues de chaque équation fe trouve fur les deux lignes qui forment un même angle droit, c'està dire, que fi l'on nomme AP, x; & AQ,y; qui font les deux inconnues de l'équation differentielle précedente, il faudra neceflairement nommer AF,ƒ; & AD, L; afin que les inconnues y &f de l'équation à l'Hyperbole, forment un même angle droit FAQ, &c. 5.On décrira par les regles desSections 8, ou 11 les deux courbes geometriques, chacune dans l'angle, dont les côtez font exprimez par les inconnues de fon équation. =Sy Ainfi dans cet Exemple, à cause de l'équation aa= Avant que de venir à la conftruction des équations differentielles, l'on remarquera, 1°. Qu'elles n'appartiennent pas toutes à des courbes méchaniques; il y en a qui appartiennent à des courbes geometriques : mais l'art de les diftinguer dépend du calcul inégal que nous ne pouvons pas expliquer ici. 2°. Que les inconnues dont les differences fe trouvent dans une équation differentielle, expriment ou deux lignes droites, ou l'une exprime une ligne droite, & l'autre une ligne courbe, ce qui fait deux cas. La conftruction de l'équation de ce Problême, & celle de l'équation du Problême qui fuit, où toutes ces deux courbes font méchaniques, ferviront d'Exemples pour l'un & pour l'autre cas. andy, l'on pren 15. Pour conftruire l'équation adx= y dra fur AQ y un point quelconque B,& l'on menera par B la droite BC parallele à AF qui rencontrera l'Hyperbole en C, & le point B fera l'origine de la courbe qu'il faut décrire ; & ayant pris fur AQ un autre point quelconque Q, l'on menera par Q la droite QN parallele à AF qui rencontrera l'Hyperbole en N. Cela fait, on prendra fur DS le point , tel qu'ayant mené V, VP parallele à AD, l'efpace ADVP foit égal à l'espace hyperbolique BCNQ; & le point M où les droites NO,VP,étant prolongées, fe couperont, sera à la courbe cherchée. DEMONSTRATION. AYANT Hh ij +integral gle QNIq-fdy: mais comme le petit triangle NIn a tous les côtez infiniment petits, il doit être nul par rapport au petit rectangle QNIq; c'est pourquoi 2NIq= Q Nng y De même AD, ou PV étant, a ; & AP, x ; Pp fera, dx ; & partant le petit rectangle PVup—adx. Mais (Couft.) BCNQ=ADVP, & BCnq=ADup; donc QŊnq = PVup, ou en termes algebriques andy C. Q. F. D. COROLLAIRE I. = adx. 16. Il est clair que la courbe B Mm a pour asymptote fon axe AP: car l'efpace Hyperbolique BAFGC étant infini, le rectangle ADVP ne lui peut jamais être égal, à moins qu'on ne fuppofe le point P infiniment éloigné de A. 17. COROLL AIRE II. dx L'EQUATION ydx=ady, où l'Hypotefe donne dy.dx:: y. a, d'où l'on voit que fi l'on fuppofe que exprime une quantité conftante, le rapport de dx à a fera un rapport conftant, & partant celui de dy à y le FIG. 111. fera auffi; c'eft pourquoi fi l'on prend fur l'axe AP tant de parties égales qu'on voudra PC, CD, DE, &c. chacune = dx, & qu'on mene par les points P, C, D, E, &c. des perpendiculaires PM, CF, DG, EH, &c. ces perpendiculaires feront continuellement proportionnelles : car ayant mené par les points M, F, G, &c. Les droites MI, FK, GL, &c. l'on aura par l'Hypothese PM (y). IF (dy) :: CF.KG; donc componendo, PM. PM+IF ::CF.CF + KG, c'est-à-dire, PM. CF:: CF. DG. Par la même raison CF, DG:: DG. EH, &c. De forte que files parties de l'axe PC, PD, PE, &c. ou PN, PÓ, PQ, &c. prifes fur l'axe AP en commençant d'un point quelconque P, croiffent ou diminuent en proportion arithmeti que, les perpendiculaires correspondantes CF, DF, EH, &c. ou NR, OS, 27, &c. croîtront, ou diminueront en proportion geometrique c'eft pourquoi fi l'on prend PC pour l'unité de la progreffion arithmetique PC, PD, PE, &c. & PM pour l'unité de la progreffion geometrique PM, CF, DG, EH, les termes PC(1), PD ( 2 ), PE(3), &c. de la progreffion arithmetique, feront les logarithmes des termes correfpondans CF, DG, EH, &c. de la progreffion geometrique, qu'on appelle Nombres, & o, le Logarithme de l'unité PM. C'est à cause de cette proprieté que la courbe BM a été nommée Zogarithmique. COROLLAIRE III 18. La perpendiculaire PM étant nommée 1, fi l'on A nomme CF, x; DG sera, x2; EH, x3; &c. car à caufe de la progreffion geometrique, l'on a PM (1). CF (x } :: CF ( x) . DG =*=x2; CF ( x ) . DG ( x2 ) :: DG (x2). EH = x3, &c. Par la même raison NR fera, (1). NR=,PM (1). NR (÷) NR(). x R(+). OS = NR(+). OS(): OS (÷). 2 = puifque PC1, PD=1, PE=3, &c. PN fera — 1, PO—— 1, PQ —— 3, &c. donc en rengeant ces expreffions des perpendiculaires, & celles des parties de l'axe AP, de maniere que l'expreffion de P2 réponde à celle de 27, celle de PO, à celle de OS, &c. l'on aura les deux progreffions fuivantes,qui fe répondront terme à terme, & chaque terme de la progreffion arithmetique, fera le logarithme de celui qui lui répond dans la progreffion geometrique. 1. x x x3, &c. Prog. arith.-3.—2—1.0.1. 2. 3, &c. 19. Doù l'on voit, 1°. Que les expofans des puiffances en font les logarithmes. 2°. Que la fomme de deux logarithmes, eft le logarithme du produit des deux nombres qui leur répondent. Ainfi 5 (32) eft le logar. de x' (= ×3× x2=x32). 3°. Que la difference de deux logarithmes, eft le logarithme du quotient des deux nombres qui leur répondent. Ainfi 2 (= 5 — 3 ) est le logarithme de x2 (= === *' ̄3). 4°. Que le double, le triple, &c. d'un logarithme, eft le logarithme du quarré du cube, &c. du nombre correfpondant. Ainfi 4 ( 2+2, eft le logarithme de x) = x22 × x2 = x2±2. 5°. Que la moitié, le tiers, &c. d'un logarithme, eft le logarithme de la racine quarrée, cube, &c. Ainfi 3 ( égal à la moitié de 6,) est le logarithme de x3 =√x'=xT, COROLLAIRE V. +2 = 20. L fuit auffi des deux Corollaires précedens que le logarithme de la racine d'une puiffance multipliée par l'expofant de cette puiffance fera le logarithme de la même puissance, & qu'on peut par confequent changer une puissance, ou une autre quantité quelconque en fon logarithme, & au contraire car en fuppofant les mêmes chofes que dans les Corollaires précedens PC=1, étant le logarithme de CF=x; PD = 2 (= 2PC= fois le Logarithme de CFx), ferale Logarithme de DG = x2; PE=3 ( 3PC= trois fois le Logarithme de PCx), fera le Logarithme de x3: ce qu'on exprime en cette forte: L: DG (L fignifie Logarithme) =2LCF, ou L: x2 = 2 Lx; L: EH=3LCF, ou Z: x3 L =2 3Zx. De même, Z:OS (=-2PC)=-2LCF, ou |