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qu'on n'en peut déterminer tel point qu'on voudra , & dont on aura besoin.

AVERTISSEMENT.

IV.

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22. Avant M' Descartes, on ne prenoit pour Geometrique que ce qui se faisoit par le moyen du cercle , & de la ligne droite , & tout ce qui se faisoit par d'autres courbes étoit reputé méchanique. Mais M* Descartes, e aprés lai tous les nouveaux Geometres , ont pris pour Geometrique, tout ce qui se fait par le moyen des courbes Geometriques. Et les mêmes

Auteurs ne prennent pour méchanique , que ce qui se fait par le moyen des courbes méchaniques.

OBSERVATIONS Pourl Application de l’Algebre à laĢeometrie.

Oıcı les Remarques ou Observations dong

on a parlé dans le premier Article , no. 8. pag.4. Ms. 1. Lorsqu'on veut résoudre un Problême, il faut

toujours employer deux lettres inconnues, pour nommer deux lignes indéterminées , qui ayent leur origine en un point fixe , & qui fassent toujours un angle constant, c'est-à-dire , que la ligne nommée

par

l'une des lettres inconnues croissant ou diminuant ; celle qui est nommée par l'autre lettre inconnue, demeure toujours parallele à

elle-même, ou à quelque ligne donnée. Ainsi, lorsqu'on Fig. 4. a nommé (art. 3. no. CÞ, x; & PM,y; l'on a eu égard

à cette observation. Semblablement le demi cercle AMB étant donné; s'il étoit question de déterminer le point M sur la circonference ; ayant abbaissé la perpendiculaire MP, l'on pourroit nommer indifferamment AP , ou CP, ou BP , *; car les points A, C, & B sont fixes; & PM, y. Et fi le Problême est déterminé, on trou

vera deuxéquations indéterminées ; mais on n'en trðuUB

vera qu'une seule , s'il est indéterminé.

2. Si l'on employe plus de deux inconnues, il faut qu'il y en aic deux qui expriment des lignes , dont la

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À LA GEOMETRI I.

23 position soit telle qu'on vient de dire dans l'observation precedente ; on placera ensuite les autres , comme on voudra. Mais on peut presque toujours se dispenser d'en employer plus de deux , en exprimant les autres lignes inconnues, dont on a besoin , ou par la propriété du triangle rectangle, ou par celle des triangles semblables.

3. Sil y a un point donné B sur un des côtez AH FIG. 3. d'un angle donné GAH ; la droite BC perpendiculaire à AH, ou parallele à quelque ligne donnée de position, fera donnée de grandeur & de position ; comme aussi les intervalles AB, AC ; & partant ces lignes peuvent être nommées par des lettres connues a, b, c. Mais di le point B , est cherche, les lignes AB, BC, AC seront indéterminées , ou variables : & l'on en pourra nommer deux AB & BC, OU AC & BC

par

deux lertres inconnues x, &y: car elles ont les qualitez requises par la premiere Observation.

4. S'il y a un point donné D hors d'une ligne AB FIG. s. donnée de position & de grandeur, la ligne DC perpendiculaire à AB, ou parallele à quelque ligne donnée de position, & les deux parties AC, CB, de la ligne AB seront aussi données de grandeur & de position. Mais si le point D est cherché, les lignes DC, AC, & CB seront variables , & l'on pourra nommer une des parties AC, de la donnée AB, X; CDy; & CB ( ayant nommé AB, a) sera a - *.

s. Un angle GAH, & un point B au dedans de cet Fig. 6.7. angle (Fig. 6), ou au dehors ( Fig. 7) étant donnez de polition; les paralleles BC,BD, ou leurs égales AC, AD, feront aussi données,& on les pourra nommer. &b: mais fi le point B est cherché, les paralleles AC, AD, seront inconnues , & on les pourra nommer x, &y.

6. Ce seroit la même chose, si le point B étoit donné Fig. S. ou cherché sur une courbe donnée HBG, dont AG , & AH sont les deux axes , ou deux diametres conjuguez : mais le point B étant cherché, on pourroie nommer GC, & CB , ou HD, & DB, ou ( si la courbe rencon

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x & y.

Fig. 9.

troit encore CG prolongée en un point F) FC,&CB, Fig. 8. 7. Lorsqu'on détermine par une operation repetéę,

plusieurs points B sur un plan où il y a des lignes qui lervent à déterminer tous ces points, & qu'on veut trouver une équation qui exprime la nature de la courbe sur laquelle les mêmes points se doivent rencontrer , il faut toujours nommer par une lettre inconnue , quelque ligne ; comme BC , qui part d'un des points B , & qui etant parallele à quelque ligne donnée AH, rencontre une autre ligne AG donnée de position en quelque point C,& nommer par une autre lettre inconnue quelque partie de la ligne AG comprise entre le point variable c, & quelque point fixe A, ou G.

8. Un angle GAH, & un point fixe D hors de cer angle , étant donnez de position sur un plan ; s'il s'agit de mener une ligne DEF par quelque point cherche E ou F sur un des côtez de cer angle, dans de certaines conditions, les parties AE, AF seront inconnues, & pour. ront être nommées x, &y: mais les paralles DB, DC, aux côtez AH, AG , ou leurs égales AC , AB seront données , & pourront être nommées , a, & b.

9. Si l'on est obligé de tirer des lignes autrement que selon les regles contenues dans les Observations precedentes; on les tirera de maniere qu'elles forment plûtôt dans la figure , sur laquelle on opere, des triangles semblables, que des triangles rectangles : car les triangles semblables donnent des equations plus simples que les triangles rectangles.

10. La proprieté du triangle rectangle, & des triangles semblables, donnent presque toutes les équations dans lesquelles on tombe, en appliquant l’Algebre à lą, Geometrie.

1!. Les hypothenuses des triangles rectangles doivent toujours être exprimées par le moyen des deux côtez qui forment l'angle droit, à moins qu'elles ne soient données de grandeur. Ainsi les deux côtez étant nommez #

&

Fig. 3.

&y, l'hypothenuse sera Vxx + yy.

12. On ne doit jamais nommer les lignes égales, ou qui doivent être égales, par des lettres differentes.

13. S'il y a de la difficulté à employer, & à nommer des lignes qui semblent necessaires à la resolution d'un Problème ; on pourra employer en leur place d'autres lignes, pourvû qu'elles ayent entr'elles le même rapport. Par exemple, en supposant que BC,& DE soient paral. leles , s'il s'agit d'employer AB , & BD; & que AC, & CE soient nommées ; on pourra employer AC, & CE au lieu de AB, &BD ; puisque AC.CE :: AB .BD.

14. On abrege le calcul , & on trouve souvent des équations plus simples, en prenant pour l'origine des inconnues le point qui divise par le milieu une ligne donnée de grandeur : & l'on tombe

par ce moyen dans un principe tres-connu, & qui est souvent d'un grand lecours dans l’Application de l’Algebre à tous les usages. Le voici.

15. La moitié de la somme de deux grandeurs, plus la moitié de leur difference est égale à la plus grande ; & la moitié de la somme de deux grandeurs, moins la moitié de leur difference est égale à la plus petite. Ainsi, nommant la somme 2 m, & la difference 2n; la , plus grande sera m+n,

& la plus petite mến. 16. Il n'est pas necessaire de prendre tant de précautions, pour nommer les lignes de la figure sur laquelle on opere, quand il s'agit de démontrer un Theoreme: car comme il n'y a point de lignes dont il soit necessaire de déterminer la longueur, on les peut toutes nommer par celles lettres qu'on voudra , connues , ou incon nues : mais on doit toujours suivre les regles préceden- . sk tes pour tirer les lignes necessaires.

On considere neanmoins quelquefois les Theorêmes qu'on veut démontrer , comme des Problêmes à resoudre. Et en ce cas, on peut suivre les principes précedens.

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D

A VERTISSEMENT.

17. Quand

Toutes ces Observations peuvent apporter beaucoup de facilité pour trouver des équations dans l' Application de l'Algebre à la Geometrie: mais la premiere la septiéme font les plus considerables de toutes ; car en suivant ce qui y est prescrit, les Problèmes indéterminez, feront toujours refolus par la voye la plus fimple, ou plâtôt par la seule voye naturelle; c'est pourquoi en ce cas, on avoit employé plus de deux inconnues, il faudroit faire évanouir celles qui expriment des lignes dont la position n'est point conforme à ce qui est dit dans ces deux Oba fervations. Mais parcequ'on ne peut pas construire tous les Problèmes déterminez par le moyen de deux équations indéter

minées, pour les raisons que pon a dites art. 3. 99. zgt; on eff + pagisos

.

quelquefois obligé d'abandonner ces deux Observations. Voici

à peu prés ce qu'il y a à observer , quand on les veut suivre. tout ce guifuit muzes, Luivane na premiere Observation, on trouvera

sipag

斗 it apois cet aver, deux équations indéterminées ; le Probleme

fera détertifomento de point miné, & on le pourra construire avec ces deux équaenhemite tes tions ; fi elles se rapportent toutes deux à la ligne droite,

ou l'une à ligne droite, & l'autre au çercle, ou toutes Squation des deux au cercle ; car il n'y a point de lignes plus simples blemer Jeder, 18. Si l'une de ces deux équations indéterminées se vite pag. : minés qu'on il faudra faire évanouir l'une des deux inconnues, &

rapporte au cercle, & que l'autre soit du feconddegré, jg. veut referire fie l'équation déterminée, qui en refulte, n'eft point par dense

peut point être divisée par quelque binome composé de gmation for a quelqu'un des divifeurs du dernier terme , & d'une puif okterminetas. lance du premier qui lui soit égale , pour la réduire , fi

cela se peut, à une équation determinée du second
degré. Si par ce moyen on n'y réussit point , il faudra,
Si elle est du quatrième degré, faire évanouir le second

xe

ļ

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