페이지 이미지
PDF
ePub

2

[ocr errors]
[ocr errors]

AX

2 ou L: x =-2Lx; &en general Z:&m=mLx. De même L: ax=La + Lx ; L: Lq+Ex-Ly;

g L: ax xx=La + x + Lx} Liaa XX = La + x Lax; Liaxx x=2Lx+ La-X.

Il n'est pas plus difficile de changer les quantitez logarithmiques en leurs nombres correspondans: car il n'y a qu'à les élever à la puiffance exprimée par leurs loga. rithmes , & multiplier celles qui sont jointes par le signe +, & diviser par celles qui ont le signe

celles qui ont le signe . AinG N:3Lx ( N. signifie Nombre ) =x';N:mLx = x;N: La + Ix-Zy=*; N:2Lx + La+—2 La= ***+ * Il en est ainsi des autres.

les logarithmes des quantitez égales, sont áulli égaux ; il suit qu'on peut changer les équations ordinaires en équations logarithmiques, & au contraire. Ainsi yy =

aa— xx, qui est une équation au cercle, fe changeen celle-ci, 2 Ly=La + x +La---x, qui est une équation logarithmique. De même 2 Ly=La + 1x, qui est une équation logarithmique, se change en celle-ciyy=ax qui est une équation à la parabole.Il en est ainsi des autres,

PROPOSITION V.

[ocr errors]
[ocr errors]

Parce que

A

PROBLEME. 18. Un cercle APB, dont le centre eft C, étant donné, il faut F 16.112, décrire la courbe AMD qui fait avec tous les rayons CMP, Cmp, un angle égal à un angle donné.

Il est clair que si l'on suppose que le rayon Cp soit infiniment proche de CP, & que l'on décrive du centre C, par m le petit arcmR, le petit criangle Mkm pourra

être regardé comme rectiligne ; c'est pourquoi ayant mené du centre C, la droite CT perpendiculaire à CP, & prolongé le petit côté Mm jusqu'à ce que

le prolongement rencontre CT en T: la droite MMT, qui sera une tangen

Ady

te au point M, la perpendiculaire CT, qui sera la soll. tangente , & la partie CM du rayon CP formeront le triangle rectangle MCT semblable au petit triangle MRM, & qui sera toujours semblable à lui-même, à caufe de l'angle CMm , ou CMT égal à un angle donné. Supposons

donc

que

le raport constant de mCà CT soit comme m à n.

Ayant nommé la donnée CA, ou CP , a; l'arc indéterminé AP ,* ; PM,y; Pp sera dx ; MR, dy , & CM, a — y. Or à cause des secteurs semblables CPP, CRM, l'on aura CP (a).CM(ay) :: Pp(dx). MR adx ydx ; & à cause des triangles semblables MRM,

adx ydx MCT,l'on a MR (dy). RM ) : MC (ay)

ст . CT S Aads Zaydx + gydx. : mais min:: a

; mais m.n:: a –y (MC). andx — zaydx + yydx (CT); doncnx amy=mx asdx - 2aydx + yydx

- ydx

en divisant chaque ady

ady

nady membre

para — 9, ou ( no. 14.) =mdx , qui donne cette construction.

Ayant supposé m=, qui est une équation à la ligne droite , & - u, qui estune équation à l'Hyperbole, on prolongera CA en F, en sorte que AF=m=x, l'on menera par A la droite GH perpendiculaire à CA, & ayant nommé AG , *,& AH,u; l'on construira l'Hyperbole HOS entre les asymptotesCA & CB parallele à AH. D'un point quelconque O pris sur l’Hyperbole, ayant mené Or parallele à AH, l'on prendra lur AG le point G, en sorte qu'ayant mené GK parallele à AF, le rectangle AGKF soit égal à l'espace Hyperbolique 410H, & ayant fait l'arc AP=ĀG,& mené le rayon CP, l'on décrira du centre C par I l'arc IM, qui coupera

adx

AUXounMx

[ocr errors]

n.

[ocr errors]

CP

[ocr errors][ocr errors]

nady

[ocr errors]
[ocr errors]

CP au point M qui sera à la courbe cherchée.

DE'MÓN ŠTRATION.
AYẢnt mené un rayonCp infiniment proche de CP,qui

. coupera la courbe au point mjdécrit du centre parm l'arc ML; mené LQ parallèle à 10, fait Ag=Ap,& mené zk parallele à GK. Parla construction, l'espace AgkF est égal à l'espace Hyperbolique ALQH,& AGKF=AIOH ; donc cgkK = IL20: mais Ggkk = zdx mdx., & IL 20=idy

nady

; donc mdx = C.2.F. D.

CORO IL AIRE I. 19. Il est clair 1°. Quie la courbe AMD ne passera point au centre C du cercle, puisqu'elle coupe tous les rayons à angles égaux. 2°. Qu'elle fera une infinité de tours autour du même centre : car lorsque AG sera égale à la circonference APB A, le point M de la courbe sera sur le rayon CA:&comme l'espace Hyperbolique HACBS eft infini, avant que de l'avoir épuisé, il faudra prendre sur AG prolongée à l'infini, une infinité de fois APBA ; c'est pourquoi la courbe AMD rencontrera une infinité de fois le rayon CA, & fera par consequent une infinité de cours autour du centre C.

COROLLA IR E IT. 20. On tire de l'équation que l'on vient de construire mdx . ndy ::a.a-y; d'où il suit que si l'on prend dx

pour constante, ou ce qui revient au même, si les parties AP croissent également en devenant Ap, ou, croislent en proportion arithmetique, les appliquées P.M, ou CM, leront (no.17.) en proportion geometrique; c'est pourquoi cette courbe est nommée Logarithmique Spirale.

REMARQUE. 21. Si l'on changeoit l'équation precedente mdx = nady en celle-ci adx= nuady

[ocr errors]

en divisant par m, & en multi

mamy

pliant par a, ou adx = en supposant m=n; aprés
avoir construit l'Hyperbole selon l'une de ces deux der-
nieres équations, on construiroit la courbe AMD en
prenant le secteur ACP égal à la moitié de l'espace hy:
perbolique HAIO, & le cercle décrit de C par 1, cou-
peroit CP au point M qui seroit à la courbe AMD ; &
cette courbe feroit encore une Spirale logarithmique,
qui auroit les mêmes proprielez que la precedente : car
i Const.) le secteur ACP= ATOH , & ACp= {x
ALQH; donc PCp=IL 20: mais Pop={adx, &
naady

Aady
ŽILQQ=

ou x ma; donc adx = naady

wady

Х

[ocr errors]

ou

[ocr errors][merged small]

my

La construction de la courbe du Problême précedent ne dépend que de la quadrature de l'Hyperbole : mais celles des courbes de celui-ci dépend de la quadrature de l'Hyperbole, & de celle du cercle tout ensemble.

PROPOSITION V I.

[ocr errors]
[ocr errors]

22.

Fig.iis.

PROBLEM E. N demi cercle ADB, dont le diametre eft AB, ale Centre C, étant donné; il faut trouver un point M hors du demi cercle , d'où ayant abaissé sur AB la perpendiculaire MP qui rencontrera la circonference ADB en D ; la partie MD de la perpendiculaire MP foit égale à l'arc BD, &

que

le reEtangle BP RPM soit égal au quarré du demi diámetre BC.

Ayant supposé le Problême résolu , & nommé la donnée AC , ou CB,a ; &les indéterminées BP, *; PM,y; MD, S; l'arc BD, u; AP sera, za

l'on aura par la premiere condition du Problême,/=u, qui est (no. 8.) une équation à la roulette à base droite , dont le point décrivant est fur la circonference du cercle generateur; & par la seconde condition, l'on aura xy=aa, qui est une équation à l'Hyperbole par raport à les alymp

ܪ ܀

totes,

[ocr errors]

Pour construite l'équation à la roulette s=; ayant fupposé que le point B de la circonference BDÁ, soit le point generateur, & mené AT perpendiculaire à AB, on fera rouler le demi cercle BD A sur la droite AT qui le touche en A, & le point B décrira par

son mouvement la roulette BMT..

Pour construire l'équation à l'Hyperbole xy=aa, on menera le rayon CF parallele à AT , & l'on décrira (art. 14. ) par le point F, l'Hyperbole FM qui coupera. la roulette BMT au point cherché M.

DEMONSTRATION.
Arant

YANT mené par le point M la droite MP perpendiculaire à AB, sa partie MD, comprise entre le point M , & la circonference BDA, sera par la proprieté de la rouletre égale à l'arc BD, ce qui est en termes algebriquess=u.

Et par la proprieté de l'Hyperbole (art. 14.) le rectangle BP xÊM=BC", ce qui est en termes algebriques xy = aa. C. 2.F.D:

REMAR CU E« PARCE QUE la roulette BMT eft ( no. 12 ) une courbe méchanique ; il suit que la construction de ce Problê. me est aussi méchanique, quoique l'Hyperbole FM soi une courbe geometrique.

L'on remarquera aussi que la construction des Proble mes méchaniques ne differe point de celle des Problêmes geometriques , lorsqu'on les construit par

de deux équations indéterminées.

L'on pourroit trouver une équation differentielle pour la roulette, & la décrire par les régles expliquées dans la Proposition quatriéme : car ayant mené par le point po pris infiniment proche de P, la droite psn parallele à PDM; par les points D & M les petites droites DR, MI paralleles à AB; MK parallele à DS, ou à la couchante en D du cercle BDA; & le rayon CD. En

le moyen

« 이전계속 »