terme, la transformer en une équation du troifiéme,& voir fi elle ne peut point enfuite être divifée par quelque binome, compofe d'un des diviseurs de deux dimenfions du dernier terme, & du quarré de l'inconnue qu'elle renfer me; & la réduire par ce moyen à une équation du fecond degré. Mais fi l'on ne trouve aucun binome plan, qui puiffe divifer l'équation transformée, le Problême fera folide, & on pourra le conftruire avec les deux équations indéterminées, de la maniere qu'on dira, dans la

neuvième Section & la construction fera même beau- pag: 3007. coup plus fimple, & plus élegante que celle qu'on tireroit de l'équation déterminée, qui refulte de l'évanouis fement de l'une des inconnues, comme on pourra voir en comparant les conftructions des Problêmes folides de la neuvième Section, avec celles de la dixième, pag: sigg. 19. Si par la feule divifion l'équation déterminée peut être réduite à une équation du fecond degré, le Prote me fera plan, & on le conftruira par le moyen moyen de l'é quation réduite à deux dimenfions, comme on enfeignera dans la Section fuivante.

"

Si pour réduire l'équation déterminée à une équation du fecond degré, il faut employer la transformation, on pourroit encore le construire par le moyen de l'une des deux équations du fecond degré que l'on en tire: mais la construction en fera beaucoup plus fimple, fi en abandonnant ce qui eft dit dans la premiere Obfervation,on prend d'autres lignes pour inconnues, & que l'on en tire de nouvelles, felon qu'on le jugera neceffaire, & que par ce moyen on puiffe venir à une équation déterminée du fecond degré. Et fi l'on n'y réuffit pas du premier coup, il faudra encore tenter d'autres voyes; car quand un Problême eft fimple, on peut trouver une équation fimple, & conforme à sa nature, soit d'une maniere, foit d'une autre.

20. Si aucune des deux équations indéterminées ne fe rapporte point au cercle, & n'y puiffe être réduite par la combinaison de l'une avec l'autre, ou autrement;

& que l'équation qui réfulte de l'évanouiffement de l'une des inconnues, foit du troifiéme ou du quatrième degré, & ne puiffe être réduite par la division, ou par la transformation à une équation du fecond degré, il faudra par son moyen conftruire le Problême, comme +pag:jgg. il fera enfeigné dans la dixième Section: car il fera necef

fairement folide; & quand on chercheroit d'autres équa tions par d'autres voyes, elles ne pourroient être plus fimples que par leurs termes, un Problême ne pouvant: jamais changer de nature.

21. Enfin fi l'équation qui réfulte de l'évanouiffement de l'une des deux lettres inconnues renfermées dans les deux équations indéterminées, excede le quatrième degré, & n'y puifle être réduite par la divifion ; le Problême era lineaire, & on le conftruira par le moyen des deux équations indéterminées, comme on dira dans la on ziéme Section. og: 250.

22. La raison de tout ceci, eft que pour conftruire les Problêmes fimples, & plans, on ne doit employer que la ligne droite & le cercle; puifqu'on le peut toujours. Et fi on les conftruifoit par le moyen des deux équations indéterminées que l'on trouve en employant deux lettres inconnues, on y employeroit fouvent d'autres courbes, qui ne font pas fi fimples que le cercle.

Pour conftruire les Problêmes folides dont les équations font du troisième ou quatrième degré, on ne doit employer que le cercle, & une courbe du premier gense, puifque cela fe peut auffi toujours.

Mais parceque pour conftruire les Problêmes lineaires, dont les équations excedent le quatrieme degré, l'on ne peut faire fervir le cercle; leur conftruction fera plus fimple par le moyen des deux équations que l'on trouve en employant deux inconnues, felon la premiere Obfervation, que de toute autre mamiere: car, à mon avis, c'est en quelque façon gêner la Geometrie que d'y introduire, fouvent avec beaucoup de difficulté, de certaines courbes préferablement à d'autres.

qui fe préfentent naturellement, & dont la description
eft fouvent tres-fimple: en quoi je voudrois que les cour-
bes fuffent préférées, fans avoir égard à leur genre,
la maniere qu'on le détermine ordinairement.

AVERTISSEMENT.

+

de

Zorfqu'on fait qu'un Probleme eft fimple, ou plan, il n'eft point neceffaire d'avoir égard à la premiere obfervation, ni d'employer deux lettres inconnues pour le refoudre. Il y a auffi des Problèmes fi fimples, qu'il n'y a aucune difficulté, ni pour nommer les lignes, ni pour trouver des équations.

Tout ce qu'on a dit dans cette premiere Section sera éclairci par toute la fuite de cet Ouvrage, qui n'en eft que l'Application, & un Commentaire.

Où l'on donne la maniere d'exprimer Geometriquement les quantitez, Algebriques, & de refoudre les Problêmes fimples, & plans; ou ce qui est la même chofe, de conftruire les équations déterminées du premier & du Second degré.

V.

O

N peut exprimer Geometriquement toutes les quantitez Algebriques, par le moyen des qua. tre operations fuivantes, qui font de trouver des troifiémes, quatrièmes, & moyennes proportionnelles, & de tirer les racines de la fomme, ou de la difference de deux ou de plusieurs quarrez.

ab

C

1. Pour exprimer Geometriquement ; ayant mené FIG. 3. une ligne droite AH, dont l'extremité Afoit fixe, fait AB=c, AD=a, mené BC=b, qui faffe avec AB un angle quelconque ABC,s'il n'eft pas determiné d'ailleurs, & mené ACG; la ligne DE parallele à BC sera- : car à caufe des paralleles BC, DE, l'on aura AB ( c ). AD (a):: BC (b). DE= Ce feroit la même chofe s'il

ab

C

ab

с

falloit exprimer geometriquement: car il n'y auroit qu'à faire BC=AD=a, aprés avoir fait AB=c; où l'on remarquera que toute quantité fractionaire peut être regardée comme le quatriéme terme d'une proFortion qui renferme les trois autres, & dont le dénoninateur eft le premier.

aa+ab

De même pour exprimer geometriquement di

aam ab

en réduisant en proportion l'on ac✈d.a+b::a.
Faisant donc AB±c+d, AD=a+b, BC=a; DE
parallele à BC, fera". Ce fera la même chose

=

ab

aabb

с

fi l'on veut exprimer geometriquement : car en réduifant en proportion l'on a . c. a+b:: a−b. Semblablement, pour exprimer geometrique

bb

aab
ed

ment qui contient deux proportions, c.a:: a. ==, & No3

d. b::

a a

с

aab

cd

a a

l'on exprimera d'abord “a, comme on vient de voir pour les quantitez précedentes,& enfuite

aab

cd

Il en eft ainfi des autres quantitez fractionnaires.

A3

2. Pour exprimer geometriquement Vab. Il faut prendre fur une ligne droite AH, AD=a,& DB=b, FIG. 10, & ayant décrit un demi cercle fur le diametre AB; la perpendiculaire DE au point D, fera égale à Vab : car nommant DE, x; l'on aura a (AD), x (DE) :: x (DE). ..\. b(DB); dont xx=ab, &x=√ab. De même pour

exprimer Vaa+ab, on voit que aa+ab, eft produit de a+b; par a. Ainfi ayant fait AD=a+b, & DB =a; DE, fera Vaa+ab.

Semblablement, pour exprimer Vaa › pour exprimer Vaa-bb; puisque? aa-bb, eft le produit de a+b par a — -b, en faifant AD=a+b,&DB=a—b; DE fera-Vaa-bb. On peut encore exprimer autrement cette quantité, comme on va voir no. 3.