PROPOSITION VL

Theorême.

46,

47.

18. S 1 les bafes des fuperficies coniques ; & par consequent F1 6. 45, Les courbes IMH, qui font les communes Sections des mêmes fuperficies coniques par des Plans paralleles aux bafes, ont cette proprieté qu'une puiffance quelconque de leurs appliquées LH, ou LI, foit égale au produit de deux puiffances de LM, & LN, telles la fomme de leurs expofans, foit à l'expofant de la puissance de LI, c'est-à-dire par exemple, que LILMx LN 2, ou LM 2x LN. Je dis que les Sections coniques IDH, telles que nous les avons définies (n°. 5,6, & 7) font de même genre que les courbes IMH.

que

=

En donnant aux lignes les mêmes noms qu'on leur a données (no. 8, 10, & 11); & faifant p+q=m.p&q, fignifient tels nombres qu'on voudra entiers ou rompus.

Soit premierement le Plan coupant EDF parallele à AC. Il faut prouver que la courbe IDH, eft une pa rabole du même genre que la courbe IMH.

DEMONSTRATIO N.

L'on trouvera, comme on a fait ( no. 8) ZM = 7;
N =&;

LN1 '-c': mais par la proprieté de la courbe IMH,
LM2 × LN1=LI", c'eft-à-dire, en termes Algebri-

ᎭᏢ

ques,
➡yTM, qui est une équation à une parabole
du même genre que la courbe IMH, puifque l'incon-
nue y, dont l'expofant eft plus grand que celui de x,
eft élevée à la même puiffance que LI=y, dans l'é-
quation à la courbe IMH. C. Q. F. D.

Ce fera la même Démonftration pour l'ellipfe & pour

l'hyperbole, & pour la Section du cilindre.

M' De la Hire pui eft le feul que je fçache qui a parlé de ces courbes, les appelle celles du second, troiféme, quatrième, cinquième genre, &c.

Si dans l'équation précedente LITM

LM2× LN¶, on fait p =2,&q=1, oup=1,&q=2; m=p+q fera 3, & l'équation deviendra LI = LM2 × LN, ou LI LM × LN2, & la courbe IMH, sera un cercle du fecond genre.

Dans la même fuppofition de p=2, & q=1, l'é

ᏓᏢ

même degré que celle de la courbe IMH, & qui ap-
partient par confequent à une parabole du fecond gen
re, qu'on appelle feconde parabole cubique.

Si p = 1, & q = 2, l'équation
p=1,

=2,

C A C P x p

ЪР

m

de

viendra**=y3, qui se rapporte encore à une parabole du fecond genre, qu'on appelle premiere parabole cubique. Il en eft ainfi des autres.

REMARQUE.

jg.ON détermineroit avec la même facilité la natu

re

,

& le genre de la courbe IDH, dans le Cone, & dans le Cilindre ; fi la courbe IMH, dont le Plan eft parallele à la bale BC, étoit une Section conique d'un genre quelconque. Eten general, la nature de la courbe IMH étant donnée, on déterminera aifément la nature de la courbe IDH; & au contraire. De forte qu'il n'y a point de courbe que l'on ne puiffe confiderer comme la Section d'une efpece de Cone ou de Cilindre, & déterminer par fon moyen la nature de la courIMH parallele à la bafe de ce Cone, & de ce Cilindre; ou bien qu'il n'y a point de courbe, que l'on ne puifle fuppofer être la base d'uu Cone, ou d'un Cilindre, &

déterminer par fon moyen la nature des Sections de ce Cone, & de ce Cilindre. De maniere qu'on peut avoir non feulement une infinité de genres de Sections Coniques, mais encore une infinité d'efpeces dans chaque genre, excepté dans le premier, qui ne renferme que quatre courbes, comme on a déjà remarqué.

la

On s'eft contenté de démontrer dans le Cone, principale propriéte des Sections coniques du premier genre, atendu qu'on en va démontrer dans les trois Sections fuivantes, toutes les proprietez neceffaires pour l'Application de l'Algebre à la Geometrie, en les décrivant par des points trouvez fur des Plans. On ne les a même confidérées dans le Cone que parcequ'elles y ont pris leur origine, & leur nom, & pour faire voir que celles qu'on décrit fur des Plans, font précisément les mêmes que celles qu'on coupe dans le Cone; & qu'on peut par confequent leur donner les mêmes.

noms.

SECTION V.

Où l'on démontre les principales proprietez, de la parabole, décrite par des points trouvez fur un Plan.

PROPOSITION L

Theorême.

Fac. 50. X. & F fur cette ligne, étant donnez de pofition U NE ligne droite DFP, & deux points fixes D, fur un Plan. Je dis que, fi l'on mene librement la ligne MPm, perpendiculaire à DFP; & fi du centre F, & du rayon DP, l'on décrit un cercle ; il coupera la perpendiculaire MPm, en dux points M&m, qui feront à une parabole.

DE'MONSTRATION.

le

I L eft clair qu'ayant divifé DF par le milieu en Ą,
cercle décrit du centre F, & du rayon DA,
DA, touchera
en A, la perpendiculaire menée par le point A, & ne
rencontrera point celles qui feroient menées au-def-
fus de A par rapport à F: mais qu'il coupera en deux
points toutes celles qui feront menées au-deffous de
A, comme MPm; d'où il fuit que la courbe qui pas-
fe par les points M, m trouvez, comme on vient de
dire, paffe auffi par le point A.

Ayant mené FM & nommé les données, ou conftantes AF, ou AD, a; & les indéterminées, ou variables AP, x; PM, y; FP fera x-a, ou a―x ; & FM, ou DP,x+a.

Le triangle rectangle FPM donne xx — 2ax +aa + yy=aa+2ax+xx, qui fe réduit à 44x=yy,ou (en faifant

fant 4a=p) px=yy. Or comme cette équation est la même que celle de l'article 9. n°. 8; il fuit que la courbe MAm, eft une parabole, dont le parametre eft p= 41=4AF=2FD. C. Q. F. D.

=

1.I Left évident que 2FD. PM :: PM. AP : car l'équation 4ax=yy, étant réduite en analogie, donne 4a .

2.11 eft clair que fi l'on mene par D la ligne ED parallele à PM, & par les points M, m qui font communs à la parabole & à la perpendiculaire MPm, les droites ME, me paralleles à PD, elles feront égales entr'elles, PD, & à FM, & que les parties PM, Pm de la perpendiculaire MPm, feront auffi égales.

DEFINITIONS.

3. La ligne AP est nommée l'axe de la parabole; A, le fommet de l'axe, ou de la parabole; PM, ou Pm l'appliquée, ou l'ordonnée ; AP, l'abciffe ou la coupée; F, le foyer; D, le point generateur; Ee, la ligne generatriAB, quadruple de AF, ou de AD, le parametre

ces

de l'axe.

ON

COROLLAIRE III.

le

4. L'on voit par l'équation précedente 4ax =yy que x croiffant y croît auffi; & qu'ainfi la parabole s'éloigne toujours de plus en plus de fon axe à mesure que que cela peut aller point Ps'éloigne du fommet A, & à l'infini: car il n'y a rien dans l'équation qui empêche d'augmenter x à l'infini.

COROLLAIRE IV.

5.D'où il fuit que les lignes comme EM menées paralleles à AP paffent au dedans de la parabole étant prolongées vers R, & ne la rencontre qu'en un feul point M.

L