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V.

44 , l'on

COROLLA IRE 6. S 1 dans l'équation 42x=yy, l'on fait x = a,le point P tombera en F, & l'on aura 441=y; donc 2a=y; c'est-à-dire que l'appliquée FO qui part du foyer est égale à la moitié du parametre ; & si l'on fait x = 41, aura 16aa =yy, ou 4a=y, c'est-à-dire que AP , & PM seront chacune égale au parametre.

COROLLA IR E. VI. 7. Il est manifeste que la quantité constante qui accompagne l'inconnue ou l'indéterminée qui n'a qu'une dimension dans un des membres de l'équation, est l'expression du parametre de l'axe de la parabole, lorsque le quarré de l'autre indéterminée est seul dans l'autre membre : par exemple dans cette équation **

Syys 4, est l'expression du parametre de l'axe de la parabo- . le dont l’abcisse est x; & l'appliquée y. PROPOSITION I 1.

Theorême. 8. Les quarrez des ordonnées PM , QN sont entr'eux comme les abcisses correspondantes AP, AQ:

Ayant nommé comme dans la Proposition précedente AB, 4a; AP, o ; PM,y; & ALS; ONZ. .. Il faut prouver que PM-(yy). ON?(72):: AP(x). ALS).

D'EMONSTRATION. L'ona

j'ona par la Proposition precedente 4ax=yy, & 4a5=k; donc yy.52: 4ax. 4af :: *. f.C. Q. F. D.

c (3)

PROPOSITION III.

Theorême. Les mêmes choses étant toujours supposées. Je dis que, 9. sa d'un point quelconque m pris sur la parabole, on mene me parallele à PA, qui rencontrera la generatrice en e, par le sommet A, la droite AC parallele à De qui rencontrera em en C; le cercle mle décrit sur le diametre me coulpera AC par

le milicu en I. Ayant nommé la donnée AD, ou eC, a ; & les indéterminées AP, ou Cm , * ; Pm, ou AC, y; & CI,f. Il faut prouver que c118)= AC

D E'MONSTRATION. L'on a par la premiere proposition 4ax=yy, & par la proprieté du cercle ax(eč x Cm ) =sliCI?), ou 40x=4[/; donc y=2, ou y=fC.Q.F. D. PROPOSITION I V.

Theorême. 10. En supposant encore les memes choses, si l'on prend AG, menée par le sommet A parallele aux appliquées PM, pour l'axe de la parabole, a GM parallele à AP, pour l'appliquée en nommant AG cu PM,x; GM, ou AP , y; e le parametre 4AF, 4a. Je dis que 4AF ~ GM= AG?.

DE'MONSTRATION. L'on a par la premiere Proposition 4-ay=xx. C. Q. F.D.

L'on n'a mis ici cette Propofition que pour faire voir qu'il est indifferent de prendre celui qu'on voudra des deux axes conjuguez pour l'abciíse , & l'autre pour l'ap

>

=YY

pliquée ; ce qui convient à toutes les courbes Geometriques , où les deux indéterminées forment toujours un parallelogramme que nous avons nommé ( art. 3 no. 16) le parallelogramme des coordonnées. PROPOSITION. V.

Problême. 11. Une équation à la parabole , bx étant donnée , décrire la parabole, lorsque les coordonnées font perpendiculaires l'une à l'autre.

b, étant ( no. 7) le parametre ; x, l'abcisse ; & y, l'appliquée de la parabole qu'il faut décrire , comme il est démontré dans la premiere Propofition.

Soit A le commencement dex, qui va vers P; & dey qui va vers B, ayant pris AB=b, & prolongé AP du côté de A, on fera AF, & AD chacune égale à 6 =AB, & l'on décrira une parabole AM par

la premiere Proposition qui satisfera au Problême, & dont A sera le sommer, F le foyer , & D le point genera

1

teur.

ܪ

b

ز

DEMONSTRATION. 'Aran

Y AN T mené une ordonnée quelconque PM; AF étant , 6; AP ,*; PM, y; FP sera ,x-6, ou

* ; & FM=PD (no. 2), x+6. Et le triangle re&tangle FPM donnera xx+bx+

1 / 6x + 1 1 6 bb -+bx+6b+yy qui se reduit à bx=yy. C. Q.F.D.

REMARQUE 12. S 1 l’on avoit nommé ( Prop. 1 ) DP , *;& DF, a; l'on auroit trouvé zax - aa=yy; & li l'on'avoit nom

= XX

Ayant mené

FP , *;& DF, a; l'on auroit trouvé 2ax + aa. =yy. Ce qui fait voir que lorsqu'une équation à la parabole a plus de deux termes , l'origine des inconnues n'est point au sommet de l'axe. PROPOSITION VI.

Problême. x.1. U n E parabole AM , dont l'axe eft AP, le sommet Figi și A , le foyer F, le point gererateur D, e la ligne genetatrice EDH, étant donnée. On propose de mener d'un point quelconque M, donné sur la parabole, la tangente MT.

par le point donné Mia droite MH parafle' à l'axe ÁP , & joint les points F, H; la ligne MOT menée du point M par le point 0 milieu de FH, sera la tangente

cherchée,

DEMONSTRATION. PUISQUE ( Art. 10. no. 2. } MF=MH, & que FH est coupée par le milieu en 0; la ligne MO est perpendiculaire à FH ; c'est pourquoi si l'on prend sur MO prolongée ou non prolongée un point quelconque G, d'où I'on mene GF, &GH, & GI paralleled AP, le triangle FGH sera isoscele: mais à cause de l'angle droit GIH, GH surpasse GI ; c'est pourquoi GF furpasse ausli GI; & par consequent le point G est hors de la parabole, & par. tant Mo ne la rencontre qu'au point M , où elle la touche. C. Q. F. D.

On peut ajouter pour confirmer cette Démonstration, que fi d'un point quelconque R pris au dedans de la parabole , on mene RF du point Ñ au foyer, & RH parallele á AP qui rencontre la parabole en M, & la generatrice en H , la ligne RH surpassera toujours RF : car ayant mené MF , elle sera (Art. 10. no. 2. ) = MH: mais RM + MFsurpassent RF; & partant RH surpalse RF; c'est pourquoi puisque GF surpasse GI , le point G est hors de la parabole. On ne peut pas dire que le

2.

3.

point G soit sur la parabole: car GF(=GH) seroit=GI,

COROLLAIRE I. 1. Il est clair que lo prolongée rencontre l'axe AP ausli prolongée en T : car l'angle FOT étant droit, l'an. gle OFT sera aigu,

COROLLAIRE I I. SI i l'on prolonge HM vers R , & la tangente MO du côté de Mvers S ; l'angle RMS sera égal à l'angle OMF SOMH.

COROLLA IRE III. D'où il suit par les loix de la Catoptrique que fi le foyer F étoit un point lumineux, les rayons reflechis à la rencontre de la parabole seroient paralleles à l'axe. Ou ce qui est la même chose,les rayons paralleles à l'axe venant d'un point lumineux infiniment éloigné , se reflechissant à la rencontre de la parabole , leurs réflçchiş pasleroient tous au foyer F. PROPOSITION VII,

Theorême, 4. E n fupposant la même chose que dans la Proposition précedente. Je dis que, si l'on mene par le point touchant M, la droite MQ parallele à HF, qui rencontrera l'axe AP in Q, la partie de l'axe PQ, comprise entre le point Q, & Pordonnée PM qui part du point M, sera égale à la moitié du parametre de l'axe de la parabole.

D E'MONSTRATION, A Cause des paralleles HF, MQ& HM , FQ, les triangles MPQ, HDF sont semblables & égaux ; c'est pourquoi PQ=DF=(Prop. 1.) à la moitié du

paramerre de l'axe.

DEFINITION. s. L a ligne PT est nommée soutangente, MQ perpendia culaire ; & PQ, souperpendiculaire , cu founormale.

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