PROPOSITION VIII. Theorême. 6.LES chofes demeurant dans le mème état que dans la Propofition precedente. Je dis que la foutangente PT eft double de l'abfciffe AP, comprise entre le fummet A & l'ordonnée PM qui part du point touchant M. Ayant nommé comme dans la premiere Propofition les données AF, ou AD; a ; PQ (no. 5. ) 2a ; & les variables AP, x ; PM,y; PT,t. Il faut prouver que t = 2x. DEMONSTRATION. L'ANGLE 'ANGLE FOT étant (Prop. 6) droit, l'angle QMT ( no. 4 ) sera auffi droit, c'eft pourquoi ża (QP ) ⋅ y (PM) y. t(PT); donc 2at=yy: Mais (Prop. 1 4x=yy; donc zat=4ax; & partant t = 2x. C. Q. F. D. 7. Cette Propofition fournit un moyen aisé de mener une tangente à la parabole; car fi d'un point quelconque M, on mene l'ordonnée MP perpendiculaire à l'axe AP; ayant fait AT=AP,la ligne MT fera la tangente cherchée. PROPOSITION IX. Theorême. 8. UN E Parabole AM dont AP eft l'axe; A, le fom met ; F, le foyer ; D, le point generateur; DE, la ligne generatrice. Si par un point quelconque M pris fur la parabole, on mene (n°7) la tangente MT, & par quelqu'autre point L, la ligne LG parallèle à la tangente MT. Je dis que la ligne MR menée par le point touchant M parallele à l'axe AP, coupera GL par le milieu en O. Ayant mené par par les points Z, M, 0, & G. Les lignes BLI qui rencontre MR prolongée en I, MP, OC, FIG. 52. & GRS perpendiculaires à l'axe AP, & nommé AF, ou AD, a; le parametre de l'axe fera (Art. 10 ) 4a =4AF; AP,x; PM, ou BI, ou SR, y; AC, m; BC, ou 10, f; CS, ou OR, z; AB sera, m—s; AS, m+z; CP, ou OM, m-x; & PT ( n°6), 2x. Il faut prouver que OGOL, ou ce qui revient au même OR=01, ou f=1; DEMONSTRATIO N. LES TP (2x), PM, ( y ) :: OR( z ) . RG = 1, & 2x او TP (2x). PM ( y ) :: 01 ( f ), IL= ; donc SG ༡ & 2x مرو 2x BL=y: mais (Art. 10 no 8) x ( AP ) . m + z( AS ) :: yy ( PM2). yy +2yYz + YYZZ, 2x { SG2 ).& x ( AP).m—(【 AB ) :: yy ( PM2), vy 2X 4xx 4xx B. myyyyf=xyy — 2xyy(+xyy, & ôtant le pre 2x 4xx mier membre de la feconde équation B du premier meme bre de la premiere A, & le fecond de la feconde du fecond de la premiere, l'on a yyz+y=2xyyz+ 2xyys + xyyzz— xvyss, d'où l'on l'on tire z=f, ou OR= 4xx OI; donc OL=0G. C. Q. F. D. Il peut arriver differens cas: car le point O s'éloignant de M, le point L tombera en A, ou de l'autre côté de A par rapport à M: mais l'on prouvera toujours de = la même maniere que z=, OG OL; c'eft pourquoi la Propofition eft generalement vraye. A DEFINITION s. GL 9. La ligne MR parallele à l'axe AP est appellée diametre, parcequ'elle coupe toutes les GZ par le milieu en O; le point M, le fommet du diametre MR; MO, Pabfciffe, ou coupée; OL, ou OG, l'ordonnée, ou l'appliquée à ce diametre. ز PROPOSITION X. Theorême. 10.E N fuppofant les mêmes choses que dans la Proposition precedente. Fe dis que le quarré d'une ordonnée quelconque OL, ou OG au diametre MR, est égal au rectangle de Pabfciffe MO par 4MF, ou (Art. 10. n°. 2.), ayant prolongé OM en H, par 4MH. Ayant nommé l'abfciffe MO, t; l'ordonnée OZ, ou OG, u; MF, ou MH,b; & les autres lignes comme dans la Propofition precedente. Il faut prouver que 4bt=uu,( 4MF × MO=OG2). I DEMONSTRATION. Si l'on ajoute les deux premiers & les deux seconds membres des deux équations A & B de la Propofition precedente, aprés avoir mis en la place de /; puifque (Prop. preced.) =/; l'on aura 2myy=2xyy+ 28yy ༧༢, 4xx ou ༢༢.= 4mN · 4xx, ou z = 4tx, en mettant pour m— x = PC=MO: mais le triangle rectangle ORG, ou OIL donne zz (OR2 ) + (RG2. Prop. preced.) yyzz = uu ( OG2, ou OL2), qui devient 4tx + 4at=ux en mettant pour sa valeur 4tx, ༢K. & pour yy fa valeur (Prop. 1) 4ax: mais x+a=PD=MF MH=b; M FIG. 53. donc en fubftituant 6 en la place de xa dans l'équation precedente, elle deviendra 4bt ⇒uu, ou 4MF × MOOG1. C. Q. F. D. II. DEFINITION. La ligne égale à 46 = 4MF =4MH est nommée le parametre du diametre MO. PROPOSITION XI Problême. 12.UN E équation à la parabole (ax=yy) dont les coordonnées x & y ne font point perpendiculaires, étant donnée, décrire la parabole. Soit M le fommet du diametre MO, dont le раrametre eft a, & l'origine des variables x, qui va vers O, & y qui va vers K en faisant avec MO l'angle oblique OMK. Il faut décrire par M la parabole LMG dont l'équation eft ax =yy. = I 4 Ayant prolongé OM & pris MH= - a= (Prop. preced.) au quart du parametre du diametre MO, on menera par H la droite HE perpendiculaire à HO, qui fera (Prop. preced. ) la ligne generatrice, & ayant fait l'angle KMF l'angle KMH, pris MF = = MH & mené par F la ligne FD parallele a MO qui coupera la generatrice HE en D. Par la Propofition precedente, & par la fixième, F fera le foyer; FD, l'axe; D le point generateur & A milieu de FD le fommet de l'axe de la parabole qu'il faut décrire. On la décrira par la premiere Propofition. DEMONSTRATION. ELLE eft claire par la Proposition precedente, & par la fixiéme. SECTION VI. Où l'on démontre les principales proprietez de l'Ellipfe décrite par des points trouvez fur un Plan. XII. U PROPOSITION I Theorême. NE ligne droite AB, divifée par le milieu en C, F1 6. 54. & deux points fixes F, G également diftans du milieu C, ou des extremitez A & B, étant donnée de grandeur & de pofition; fi l'on prend entre F & G un point quelconque H, & que du centre F & du rayon AH; du centre G& du rayon BH, l'on décrive deux cercles; ces deux cercles fe couperont en deux points M, m de part & d'autre de la ligne AB; puifque leurs demidiametres furpaffent FH+ HG. Et je dis que les points M&m, & tous ceux qui feront trouvez de la même maniere, en prenant d'autres points H, (cront à une Ellipfe dont C eft le centre, AB le grand axe, DE l'axe conjugué à l'axe AB,qui eft double de la moyenne proportionnelle entre AF & FB, ou AG & GB. DEMONSTRATION. D'UN des points M, trouvez comme on vient de di- Mij |