페이지 이미지
PDF
ePub

CC

[ocr errors]

21

pre

Les triangles rectangles FPM, GPM donneront, 20x + xx + yy

af+, & 60 +26x + 4x+yy = a + 2a[+, & en tant la miere de la seconde , le premier membre du premier & le second du second, l'on aura 46x=4af, d'où l'on tire = , & mettant cette valeur des , & celle de son quarrés dans l'une des deux premieres équations, l'on 20x + xx + yy=ad

d'où l'on tire en reduisant, transposant , & divisant par aa

CCXX

aura cc

[ocr errors]

AA

66,

aayy

[blocks in formation]
[ocr errors]

aayy

[ocr errors]
[ocr errors]

CC

[ocr errors]

-C

aavy

[ocr errors]

Mais lorsque le point P tombe en C, PM (9) devient CD, & ( x ) devient nulle, ou=0; c'est pourquoi en effaçant le terme xx,

l'on a aa= -=yy=CD? , & partant y=+CD: nommant donc CD,b; l'on a, aa -- ce=bb; d'où l'on tire a! AF)..(CD) :: b(CD) a +((FB). Qui est une des choses qu'il falloit démontrer. Or mettant bb dans l'équation aa — xx= en la place de aa — cc l'on a, aa — *x= ". Et comme certe équation est la même que celle qu'on a trouvée ( Art. 9 n, 10) il suit que la courbe ADBE est une Ellipse. Ce qui est une des autres choses proposées.

Si dans l'équation aa- xx= -, l'on faity=o, l'on aura xx = aa ; donc ce qui fait voir

que

l'Ellipse passe par les points Ā & B. Et en faisant x=o lon a trouvé

y=+CD qui montre que l'Ellipse AM passe aussi

par les points D & E, en faisant CE=CD; c'est pourquoi ( Art. 9 n.6) AB, est le diametre principal de l'Ellipse ; DE son axe conjugué, &C le centre. Ce qu'il falloit enfin démontrer.

[ocr errors][merged small][ocr errors]

DEFINITIONS. 1. I E s points F & G sont nommez les foyers de l'Ellipfe'; CP, l'alcisse ou coupée , & PM, ou Pm l'ordonnée, out l'appliquée à l'axe AB.

COROLL AIRE I. 2. I L est clair que les lignes FM,GM menées des foyers à la circonference de l'Ellipse sont , par la description, ensemble égales à l'axe AB , & que PM=Pm.

COROLLAIRE II. 3. I i est aussi évident

que le rectangle des deux parties AF, FB ou AG, GB de l'axe AB faites par un des foyers F, ou G, est égal au quarré du demi axe conjugué DC: car dans la Démonstration precedente l'on a trouvé aa - cc CD'. Or aa CC Sa+C Xal, AF ~ FB=CD?.

COROLLAIRE III. 4. On voit par les termes de l'équation aa — ** aayy

& par les signes + & qui les precedent bb ) que x croissant

у diminue : car plus x devient grande, plus aa – xx diminue , & par consequent aussi yy ; puisque les quantitez constantes aa , & bb demeurent toujours de même grandeur ; ce qui fait voir que les points M&m de l’Ellipse , s'approchent dautant plus de l'axe AB, que le point P s'éloigne de C. On voir ausli que l'on ne peut augmenter x que jusqu'à ce qu'elle devienne =a; auquel cas aa — xx devient=aa -- aa =0; & par consequent aussi y=0, ce qui fait voir que M & m se confondent alors avec les points A & B, que l’Ellipse coupe l'axe en ces points', comme on a deja remarqué.

ز

les points

&

[ocr errors]

aayy étant

XX

bb

266

A

266

1

中,

l'on a

2

COROLLAIRE IV. s. L'e'QUATION à FEllipse aaréduite en analogie donne aa — *x ( AP ® PB ). yy ( PM) :: aa ( AC?). bb (CD) : 4aa ( AB') : 466 (DE), c'est-à-dire que le rectangle des deux parties AP, PB de l'axe AB faites par l'appliquée PM est au quarré de l'appliquée PM: comme le quarré de l'axe AB est au quarré de l'axe conjugué DE.

COROLLAIRE V. 6. Si l'on fait AB (2a). DE ( 26) :: DE (26). , la ligne

que je nomme psera (Arr. 9 no. 13 ) le parametre de l'axe AB. Or puisque a, b :: 6.

bb
2 ľaa. donc bb = _ aap; donc

; moi =2; C'est pourquoi fi l'on met dans l'équation aa en la place de **

en la place de fa valeur , l'on aura aa—xx=

s d'où l'on tire cette analogie, aa — xx.(AP PB ) : yy (PM) :: 22 (AB).P, c'est-à-dire que le rectangle des deux parties de l'axe faites par l'apliquée est au quarré de l'apliquée ; comme le même axe, est à son

est à son parametre. COROLLAIRE

VI. 7. I 1 fuit du Corollaire précedent que le rectangle de l'axe AB par son parametre est égal au quarré de l'axe conjugué Des puisque AB. DE: DE.P.

aufli a ,

[ocr errors]
[ocr errors]

As

XX

aayy

> 66

bb

bb

21уу
P

COROLLAIRE VII. 8. S 1 au lieu de

on met un autre rapport

aa

[ocr errors]

ou de

bb

[ocr errors]

туу

; c'est pour

[ocr errors]

égal comme l'on aura, aa ---xx= quoi l'on fera sur l'équation à l'Ellipse les trois remarques fuivantes , aprés avoir délivré l'un des quarrez inconnus qu'elle renferme de toute quantité connue.

REMARQUE 1. 9. LORSQUE l'antecedent du rapport qui accompagne un des quarrez inconnus de l'équation à l'Ellipse est égal & semblable au terme connu ; ou ce qui est la mê. me chose , si cet antecedent renferme les mêmes lettres que le terme connu de l'équation ; fa racine quarrée exprimera le demi diametre dont l'autre inconnue exprime les parties ; & la racine quarrée du consequent exprimera le demi diametre conjugué.

REMAR QUE I I. vo. LORSQUE cer antecedent est le double de la racine quarrée du terme connu, il exprimera le diametre dont l'autre inconnue exprime les parties ; & le consequent exprimera son parametre.

REMARQU E III. EN N tout autre cas ce rapport marque le rapport du diametre , dont une partie est exprimée par l'autre inconnue , à son parametre, ou le rapport du quarré du même diametre au quarré du diametre conjugué. Tout cela est évident (n'. 6 & 8).

COROLLAIRE VIL Doù il fuit qu'une équation à l'Ellipse renferme les expressions des deux diametres conjuguez,quiforment

II.

12.

bb

AA

[ocr errors]

P

la parallelogramme des coordonnées , ou de l'un de ces diametres , & de son parametre, ou la raison du quarré de l'un des diametres au quarré de l'autre , ou enfin celle de l'un des deux à son parametre : de sorte qu'on aura toujours les deux diametres conjuguez par le moyen de l'équation.

Par exemple , dans l'équation aa — xx=ayy le terme connu aa est le quarré du demi diametre AC;l'antecedent aa du rapport li qui accompagne yy est semblable & égal au terme connu aa ; c'est pourquoi le consequent bb est le quarré du demi diametre conjugué CD à l'axe ou au diametre principal AC. Dans l'équation aą — xx

l'antecedent za étant double de la racine du terme connu aa ; 2a sera le diametre AB,& fon

parametre: & partant, si l'on fait 2a.p:: aa . ap; ap dera l'expression du quarrédu demidiametre conjuguéCD; & partant CD=V, ap. Enfin dans l'équation aa—xx=

aa exprime le quarré du demi diametre AC dont les parties CP sont nommées x ; & partant AB = 24. Mais

pour avoir l'expression du demi diametre De conjugué au diametre AB, l'on fera m.n::aa. partant Via=CD,& 2V maa=DE. Et pour avoir l'expreslion du parametre du diametre AB , l'on fera & cette quantité

sera l'expresion cherchée.

[ocr errors]

2

туу

[ocr errors]
[ocr errors]

; &

[ocr errors]

2an

m .71 :: 24.

[ocr errors]

m

COROLLAIRE

« 이전계속 »