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Les triangles rectangles FPM, GPM donneront, CC 20x + xxyy — ad =

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24

cc + 2cx + x x + yy = aa+2af+ss, & en ôtant la premiere de la feconde, le premier membre du premier & le fecond du fecond, l'on aura 4cx=4af, d'où l'on ti

ref=, & mettant cette valeur deƒ, & celle de fon

a

quarré dans l'une des deux premieres équations, l'on 26x+ d'où l'on ti

aura cc

26x+xx+yy=aa⋅

ccxx

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re en reduifant, tranfpofant, & divifant par aa—cc,

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Mais lorsque le point P tombe en C, PM (y) devient CD, & ( x ) devient nulle, ou=0; c'eft pour

aayy

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ou aa

quoi en effaçant le terme xx, l'on a aacc=yy = CD2, & partant y=+CD: nommant donc CD, b; l'on a, aa—ce=bb; d'où l'on tire a-c ( AF ) . b ( CD ) :: b (CD) a + c ( FB).Qui est une des chofes qu'il falloit démontrer. Or mettant bb dans l'ė

quation aa— xx=

a, aa xx=

aayy
bb

aavy

aa- cc

en la place de aa—cc l'on

Et comme cette équation eft la même que celle qu'on a trouvée (Art. 9 n, 10) il suit que la courbe ADBE eft une Ellipfe. Ce qui eft une des autres chofes propofées.

Si dans l'équation aa—xx = aayy , l'on faityo, l'on

bb

aura xx=aa; donc xa, ce qui fait voir que l'Ellipfe paffe par les points A & B. Et en faifant x=o l'on a trouvé y=+CD qui montre que l'Ellipfe AM paffe auffi par les points D & E, en faisant CE = CD; c'est pourquoi (Art. 9 n. 6) AB, est le diametre principal de l'Ellipfe ; DE fon axe conjugué, & C le centre. Ce qu'il falloit enfin démontrer.

I.

·LE

DEFINITION s.

E s points F & G font nommez les foyers de l'Ellipfe; CP, l'alciffe ou coupée, & PM, ou Pm l'ordonnée, ou l'appliquée à l'axe AB.

COROLLAIRE Í.

2. IL eft clair que les lignes FM, GM menées des foyers à la circonference de l'Ellipfe font, par la defcription, ensemble égales à l'axe AB, & que PM Pm.

3.

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Ii eft auffi évident que le rectangle des deux parties AF, FB ou AG, GB de l'axe AB faites par un des foyers F, ou G, est égal au quarré du demi axe conju. gue DC: car dans la Démonstration precedente l'on a trouvé aa - cc = CD2. Or aa

AFX FBCD2.

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cc=a+ c xa

COROLLAIRE III.

4. On voit par les termes de l'équation aa

aayy
bb

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& par les fignes & — qui les precedent que x croiffant y diminue: car plus x devient grande, plus aa-xx diminue, & par confequent auffi yy; puifque les quantitez constantès aa, & bb demeurent toujours de même grandeur ; ce qui fait voir que les points M & m de l'Ellipfe, s'approchent dautant plus de l'axe AB, que le point P s'éloigne de C. On voit auffi que l'on ́ ne peut augmenter x que jufqu'à ce qu'elle devienne=a; auquel cas aa-xx devient aa— aa = 0; & par confequent auffi y=0, ce qui fait voir que les points M&m fe confondent alors avec les points A & B, & que l'Ellipfe coupe l'axe en ces points, comme on a dėja remarqué.

Müj

COROLLAIRE IV.

5. L'EQUATION à ÞEllipse aa— xx =

aayy
- étant
bb

réduite en analogie donne aaxx ( AP × PB ). y ( PM2 ) :: aa ( AC2). bb (CD2 ) :: 4aa ( AB2 ) . 4bb (DE2), c'est-à-dire que le rectangle des deux parties AP, PB de l'axe AB faites par l'appliquée PM est au quarré de l'appliquée PM: comme le quarré de l'axe AB eft au quarré de l'axe conjugué DE.

COROLLAIRE V.

6.Si l'on fait AB ( 2a ). DE ( 2b ) :: DE (2b), 266

2bb

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la

ligne que je nomme plera ( Art. 9 n°. 13) le pa

a

rametre de l'axe AB. Or puisque a, b :: b.

auffi a.

2a

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; C'est pourquoi fi l'on met dans l'équation aa

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sa valeur, l'on aura aa—xx =

2ayy

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bb

; d'où l'on tire cette analogie, aa—xx. (AP × PB). yy (PM): 2a ( AB ) . p, c'est-à-dire que le rectangle des deux parties de l'axe faites par l'apliquée eft au quarré de l'apliquée ; comme le même axe, eft à fon parametre.

COROLLAIRE VI.

7. I L. fuit du Corollaire précedent que le rectangle de l'axe AB par fon parametre eft égal au quarré de l'axe conjugué DE; puisque AB. DE:: DE . p.

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quoi l'on fera fur l'équation à l'Ellipfe les trois remarques fuivantes, aprés avoir délivré l'un des quarrez inconnus qu'elle renferme de toute quantité connue.

REMARQUE I.

9. LORSQUE l'antecedent du rapport qui accompa gne un des quarrez inconnus de l'équation à l'Ellipfe eft égal & femblable au terme connu, ou ce qui eft la même chofe, fi cet antecedent renferme les mêmes lettres que le terme connu de l'équation; fa racine quarrée exprimera le demi diametre dont l'autre inconnue exprime les parties; & la racine quarrée du confequent exprimera le demi diametre conjugué.

REMARQUE II.

IO. LORSQUE cet antecedent est le double de la racine quarrée du terme connu, il exprimera le diametre dont l'autre inconnue exprime les parties ; & le consequent exprimera fon parametre.

II.

REMARQUE III.

E N tout autre cas ce rapport marque le rapport du diametre, dont une partie eft exprimée par l'autre inconnue, à fon parametre, ou le rapport du quarré du même diametre au quarré du diametre conjugué. Tout cela eft évident (n°. 6 & 8 ).

12.

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Doù il fuit qu'une équation à l'Ellipse renferme les expreffions des deux diametres conjuguez,qui forment

la parallelogramme des coordonnées, ou de l'un de ces diametres, & de fon parametre, ou la raifon du quar- • ré de l'un des diametres au quarré de l'autre, ou enfin celle de l'un des deux à fon parametre: de forte qu'on aura toujours les deux diametres conjuguez par le moyen de l'équation.

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bb

Par exemple, dans l'équation aa— xxyy le terme connu aa eft le quarré du demi diametre AC;l'antecedent aa du rapport bb qui accompagne yy est semblable & égal au terme connu aa; c'eft pourquoi le confequent bb eft le quarré du demi diametre conjugué CD à l'axe ou au diametre principal AC. Dans l'équation aa - xx

P

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& P

I

fon pa

I

2ayy l'antecedent 2a étant double de la racine du terme connu aa; 2a fera le diametre AB, & rametre: & partant, fi l'on fait 2a. p:: aa. —— ap; — ap; // ap fera l'expreffion du quarré du demidiametre conjugué CD; & partant CD=V=_=_ap. Enfin dans l'équation aa—-

2

xx=

myy aa exprime le quarré du demi diametre AC dont

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les parties CP font nommées x ; & partant AB = 24. Mais pour avoir l'expreffion du demi diametre DE conjugué au diametre AB, l'on fera m . n :: aa .

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naa

m

; &

partant da=CD,& 2√aa=DE. Et pour avoir

m

m

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