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66 , qui montre

COROLLAIRE. IX. 13. S 1 l'on nomme AP , *; BP sera, za —*, & l'on aura (no. 5) 2ax - xx (AP ® PB ). yy (PM') :: aa (AC).66(CD?); donc 2ax - xx= que lorsque les indéterminées n'ont point leur origine au centre de l'Ellipse , il se trouve des seconds termes dans son équation , & qu'une équation locale appartiendra toujours à l'Ellipse, lorsqu'elle renfermera deux quarrez inconnus, l'un desquels ou tous deux seront accompagnez de quelque quantité connue & auront differens lignes dans les deux membres de l'équation, ou même ligne dans le même membre, quelque mêlange de constantes qu'il s'y rencontre, & pourvû que les deux inconnues ne soient point multipliées l'une par l'autre.

COROLLA IRE X. 14. Si dans l'équation à l'Ellipse aa

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XX

муу bb

OU

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24X XX=

bb ;a=b; l'on aura aa

6; l'on aura aa – xx=yy, QU 2ax - xx=yy ; qui est une équation au cercle , pourvų que les coordonnées x & y fallent un angle droit : car l'une & l'autre de ces deux équations donne AP Ý PB=PM qui est la principale proprieté du cercle. D'où l'on voit aussi que l'équation à l'Ellipse ne differe de celle du cercle , qu'en ce que l'un des quarrez inconnus eft accompagné de quelque quantité connue dans l'équation à l’Ellipse,& qu'ilsen font tous deux délivrez dans l'équation au cercle. En effet le cercle peut être regardé comme une Ellipse dont les foyers sont confondus avec le centre , & dont tous les diametres sont par consequent égaux entr'eux, & à leurs parametres.

Dans l'équation au cercle aa—xx=yy, les coordonnées ont leur origine au centre , & dans celle-ci, zak *xyy, l'origine des coordonnées n'est point au

N

centre.

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Aayy

S
ACC

PROPOSITION I I.

Theorême. is. L es mèmes choses que dans la premiere Proposition étant fupposees

. fedis que l'appliquée FO au foyer F est égale ba moitié du parametre de l'axe AB. Il faut prouver que FO =

D'EMONSTRATION. S dans l'équation aa – xx => on fait x (C) =C(CF), le point P tombera enF, & PM deviendra FO; & l'on aura aa

d'où l'on tire y (Prop. 1.) =(no. 6) P.C. Q.F. D. PROPOSITION III

Problême. 16. Les deux axes conjugüez AB, DE d'une Ellipse était donnez, trouver les foyers F, G.

Soit du centre D, extremité de l'axe conjugué DE ý & du rayon AC, décrit un cercle qui coupera AB en deux points F & G qui seront les foyers qu'il falloit trou

yyan

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ACC

CC

66

ver.

D E'MONSTRATION. Par la construction FD+DG=AB; donc (no. 2) F & G sont les foyers. C.Q.F. D. PROPOSITION IV,

Problême. 17. L E grand axe AB d'une Ellipse & les foyers F&G étant donnez, déterminer l'axe conjugué à l'axe AB.

Soit du foyer F pour centre , & pour rayon le demi axe AC décrit un cercle. Il coupera la perpendiculaire à AB menée par le centre c en deux points D & E, & DE sera l'axe conjugué à l'axe AB.

D E'MONSTRATION. Elle est la même que celle de la Proposition prei cedente. PROPOSITION V.

Theorême. 18. S 1 Pon fait MQ perpendiculaire à DE. Je dis que le rectangle des deux parties DQ, QE de Laxe DE faites par l'appliquée MQ , est au quarré de MQ : comme DE

quarde l'axe DE à AB’ quarré de l'axe AB.

En laissant aux lignes les mêmes noms qu'on leur a donnez dans la premiere Proposition, CP, ou em étant x; & PM, ou CQ,; DQ sera, 6-y; &QE,

Il faut démontrer que bm-. yy. xx:: Abb. 4aa.

XX

sayy
ble ?

bbxx

AA

DEMONSTRATION. EN N reprenant l'équation de la premiere Proposition aa

la multipliant par bb, la divisant par aa & cranfposant l'on aura bb-90=

d'où l'on cire cette analogie bb - yy. xx :: bb.aa :: 466.402 , De QE.QM :: DE. AB. C.2.F. D.

DE'FINITION. 19. Si l'on fait zb. 2a: 24.

que je nomme p; la ligne =p est appellée le parametre de l'axe DE.

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COROLLAIRE 20. 6.a :: 2a .P, donne bp=2aa, ou bbp= 2aab,

26 c'est pourquoi li on met en la place de

26

bb

ou

P

AA

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26xx

>

mxx

m

2b

dans l'équation precedente,l'on aura bb -- yy= ou si l'on fait

l'on aura bb - yy= On ajoutera à ce Corollaire les raisonnemens que l'on a faits no. 9, 10, 11, 12, 13 & 14.

n

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XX =

cet

Problême. 21. Une équation à l' Ellipse ab y étant donc mée , décrire l'Elipse lorsque les coordonnées font un angle droit.

Soit premierement trouvé une moyenne proportionnelle entre a , & b qui foit f ; & par consequent f = ab ; ainsi l'équatiou sera f—**=*. On fait ce changement parceque ab érant l'expression du quarré du demi diametre dont les parties sont nommées *, te expression doit aussi être un quarré.

Soit presentement C, l'origine des inconnues x, qui va vers A & vers B , & y, qui va vers D & vers E. Le même point C doit aussi être le centre de l'Ellipse; puisque les inconnues x & y n'ont point de second terme dans l'équation. Soit fait CA&CB chacune=f; AB sera le grand axe , si c surpasse d ; le petit , si c est moindre

que d. Pour avoir l'axe conjugué à l'axe AB, soit fait c. d: ff. d, & foit prise CD & Ce chacune égale à v df ; De sera ( no. 12 ) l'axe cherché. Ayanc

ensuite trouvé les foyers F & G par la troisiéme Propolition, on décrira l’Ellipse par la premiere.

DE'M

E'MONSTRATION.
L L E est evidente par ce que l'on a démontré no. 12.
Prop. 1 & 3.
PROPOSITION VII.

Problême.
XIII. UN E Ellipse ADBE, dont AB eft le grand axe ; F 16. SS.
C, le centre ; F&G, les foyers, étant donnée. Il faut d'un
point quelconque M donné sur l’Ellipse mener la tangente MT.

Ayant mené FM, & GM, prolongé FM, en 1, en forte que Mi= MG, & mené Gi. Je dis que la ligne MO menée du point M par le point o milieu de Gi lera la tangente cherchée.

D E'M ONSTRATION. D'un point quelconque Z autre que M pris sur MO, ayant mené les droites LF, LG, LI; puisque par la construction MG= MI, & 10=ÖG, MO sera perpendiculaire à G7; c'est pourquoi le triangle Gli sera isoscele; & partant FL + LI = LF + LG surpasse FM+ MI =FM+ MG; donc le point L est hors de l'Ellipse. C.

COROLL AIRE I. 1. Si l'on mene MK parallele à 1G ; l'angle KMO sera droit: puisque ( Const. ) Gi est perpendiculaire à MO.

COROLLAIRE II. 2. L A ligne MK partage l'angle FMG en deux égale. ment : carà cause de KM parallele à GI , l'angle FMK -FIG=MGI= GMK.

l. F.D.

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