Éléments de mathématiques

+AB. AB:: LK+KB. KB, ou bien, AL+AB. AB :: LB. KB, & alternando, AL+AB. LB:: AB. KB. D'ailleurs, les deux triangles AHB & BHK sont semblables, puifqu'ils ont l'angle H commun, & que l'angle HAB est égal à l'angle HBK ou HBL du fecond (ce font deux angles infcrits appuyés fur les arcs égaux HB & LH). Ainfi les côtés homologues de ces deux triangles font proportionnels. On aura donc la proportion, AB. KB:: AH. HB. On peut donc mettre la raison de AH à HB à la place de celle de AB à KB. Ainfi, au lieu de la proportion, AL+AB. LB :: AB. KB, on aura celle-ci, AL+AB. LB :: AH. HB. Par des raifonnements semblables on trouvera ces trois autres proportions, AH+AB. HB:: AG. GB, AG+AB. GB::AF.FB, & AF+AB. FB:: AE. EB. Voici les quatre proportions:

I" AL+AB . LB:: AH. HB. 2de. AH+AB. HB :: AG. GB. 3me. AG+AB. GB:: AF. FB. 4. AF÷AB. FB:: AE.EB. Suppofons que LB contient 780 parties égales, le diametre AB en contiendra 1560, parce que la corde LB eft égale au rayon ; & par conféquent le diametre eft le double de cette corde : le quarré de LB ou de 780 fera donc 608400, & celui de AB ou de 1560 fera 2,433,600. Or, dans le triangle rectangle ALB, fi on ôte le quarré du côté LB du quarré de l'hypoténuse AB, le reste sera le quarré de l'autre côté AL. Il faut donc ôter 608400 de 2,433,600, le reste 1,825,200 fera le quarré de AL. Mais au lieu de ce nombre je prends celui-ci 1,825,201, qui eft plus grand, & dont la racine est 1351: ainsi AL est moindre que la racine 1351; par conféquent les deux lignes AL+AB font moindres que 1351+1560, ou 2911. Ainfi la raifon de AL+AB à LB eft plus petite que celle de 2911 à 780, parce que les deux conféquents étant égaux, l'antécédent de la premiere eft plus petit que celui de la feconde. Or, AL+AB. LB:: AH.HB: c'eft la premiere proportion marquée ci-deffus. Par conséquent la raifon de AH à HB eft moindre que celle de 2911 à 780. D'ailleurs en multipliant ces deux nombres par 100, on trouve les produits 291100, & 78000. Donc le rapport de AH à HB eft plus petit que celui de 291100 à 78000.

Ainfi, en fuppofant HB-78000, AH fera moindre que 291100: le quarré de HB fera donc 6,084,000,000, & celui de AH fera plus petit que 84,739, 210, 000. La fomme de ces nombres, favoir, 90,823,210,000, eft donc plus grande que le quarré de l'hypoténufe AB du triangle rectangle AHB. Au lieu de cette fomme je prends un plus grand nombre, favoir, 90,826,890,625, qui

eft le quarré de 301375. Donc AB eft moindre que 301375. Par conféquent la raison de AH+AB à HB eft plus petite que celle de 291100+301375 à 78000, ou de 592475 à 78000. Or, AH+AB. HB:: AG. GB: c'est la feconde proportion marquée ci-dessus. Donc le rapport de AG à GB eft plus petit que celui de 592475 à 78000. Mais, fi on divife ces deux nombres par 325, & qu'on multiplie les deux quotients par II, on trouvera 20053 & 2640. Ainfi le rapport de AG à GB eft moindre que celui de 20053 à 2640.

Si donc on suppose GB=2640, AG fera moindre que 20053, le quarré de GB fera donc égal à 6, 969, 600, & celui de AG fera plus petit que 402, 122, 809. Ainfi la fomme de ces nombres, favoir 409,092, 409, eft plus grande que le quarré de l'hypoténuse AB du triangle AGB. Mais, au lieu de cette fomme, je prends 409,131,529, dont la racine eft 20227. Ainfi AB eft moindre que 20227: par conféquent la raison de AG+AB à GB eft plus petite que celle de 20053+20227 à 2640, ou de 40280 à 2640. Or, "AG+AB.GB:: AF. FB: c'eft la troifieme proportion marquée ci-deffus. Donc la raifon de AF à FB eft plus petite que celle de 40280 à 2640. Mais, en divifant ces deux nombres par 40, & multipliant enfuite les quotients par 6, on trouve les deux autres nombres 6042 & 396. Ainfi le rapport de AF à FB est plus petit que celui de 6042 à 396.

Si donc on fuppofe FB-396, AF fera moindre que 6042; ainfi le quarré de FB fera 156816, & celui de AF fera plus petit que 36,505,764. Par conséquent la fomme de ces nombres favoir, 36,662,580 fera plus grande que le quarré de l'hypoténufe AB du triangle rectangle AFB; mais au lieu de cette fomme je prends le nombre 36, 663, 025, dont la racine est 6055. Ainfi AB eft moindre que la racine 6055: par conféquent la raifon de AF+AB à FB eft plus petite que celle de 6042+6055 à 395, ou de 12097 à 396. Or, AF+AB. FB:: AE. EB: c'eft la quatrieme proportion marquée ci-deffus. Donc la raison de AE à EB eft plus petite que celle de 12097 à 396. Mais, en multipliant ces deux termes par 2, les produits font 24194 & 792. Par conséquent le rapport de AE à EB eft plus petit que celui de 24194 à 792.

AE fera moindre que

Si donc on fuppofe EB=792 24194. Donc le quarré de EB fera 627264, & celui de AE fera plus petit que 585, 349, 636. Par conféquent la fomme de ces deux nombres, favoir 585, 976, 900 fera plus grande que le

quarré

quarré de l'hypoténuse AB du triangle rectangle AEB. Mais, au lieu de cette fomme, je prends 585,978,849, qui eft le quarré de 24207 ainfi l'hypoténufe AB ett moindre que 24207.

Ainfi, en fuppofant que le côté EB eft de 792, le diametre AB eft moindre que 24207. Donc la raifon du côté EB au diametre AB eft plus grande que celle de 792 24207, parce que l'antécédent de l'une & de l'autre raifon étant le même, le conféquent de la premiere eft plus petit que celui de la feconde. Or, fi on divife les deux nombres 792 & 24207 par 3, on trouvera les quotients 264 & 8069. Par conséquent la raifon du côté EB au diametre AB eft auffi plus grande que celle de 264 à 8069; ainfi, en multipliant les deux antécédents de ces dernieres raifons par le même nombre 96, nous aurons encore le rapport de EB×96 au diametre AB plus grand que celui de 264×96 à 8069 : c'est-à-dire, que le rapport du périmetre du polygone régulier infcrit de 96 côtés au diametre AB eft plus grand que celui de 264×96 à 8069, ou de 25344 à 8069. Or, ce rapport de 25344 à 8069 est un peu plus grand que celui de 21 à 7, puifque cette derniere raison eft égale à celle de 25343 à 8069, comme il paroît, parce que le produit des extrêmes 217 & 8069 eft égal au produit des des moyens 7 & 25343 Donc le rapport du périmetre du polygone régulier infcrit de 96 côtés au diametre eft grand que celui de 21 à 7: ce qu'il falloit démontrer.

24.

Voici en abrégé la fuite du calcul de cette démonftration.

1o. Si on suppose LB-780, la ligne AL fera moindre que 1351.

2o. Si HB=78000, AH fera moindre que 291100.

3°. Si GB=2640, AG fera moindre que 20053.

4°. Si FB 396, AF fera moindre que 6042.

Enfin, fi EB=792, AE fera moindre que 24194, & alors le diametre AB fera auffi plus petit que 24207. D'où on conclut que le rapport du côté EB au diametre AB eft plus grand que la raison de 264 à 8069, qui eft la même que celle de 792

à 24207. Voici encore une autre Démonftration du Théorême fondamental qui eft à l'article 4 de ce Supplément, & qui auroit dû être placée à la fuite du même article.

Pl. IV

Pour prouver que le quarré BF eft égal à la fomme de AH Fig. 65. & AL, foit tirée la ligne ADG perpendiculaire fur l'hypoténuse

II. Partie,

& fur EF, & par conféquent parallele aux deux côtés BE & CF du quarré BF: foient auffi tirées les lignes AE, AF, CH, BL on aura quatre triangles dont les deux ABE, HBC font égaux. Car l'angle CBE eft droit, de même que l'angle ABH ; & par conféquent, en ajoutant de part & d'autre l'angle ABC, on aura l'angle total ABE égal à l'angle total HBC: d'ailleurs AB du premier triangle eft égal au côté BH du fecond, parce que ce font des côtés du même quarré. Par la même raison le côté BE du premier eft égal à BC du second : donc les deux triangles ABE & HBC font égaux en tout (liv. II, art. 29). Or le triangle ABE eft la moitié du rectangle BG, parce que ces deux figures ont la même base BE, & font entre les mêmes paralleles BE & AG. Pareillement le triangle HBC eft la moitié du quarré AH, à caufe qu'ils ont la même base BH & qu'ils font entre les mêmes paralleles BH & CI. Par conséquent les deux triangles ABE, HBC, étant égaux, le rectangle BG eft égal au quarré AH.

On prouvera de la même maniere que le rectangle DF eft égal au quarré AL, parce que les triangles ACF & LCB font égaux, & que ces triangles font moitiés du rectangle DF & du quarré AL.

Fin du Supplement.