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Mais il faut remarquer qu'il se rencontre fouvent dans une équation des termes complexes, ou compofez de plufieurs quantitez Algebriques, jointes enfemble par + ou par-, qui font ceux où l'inconnue fe trouve élevée à la même puiffance, ou bien ceux où elle ne fe trouve point du tout. Par exemple, ces quantitez axx-bxx+ cxx, ou abb-bcc+d, ne doivent être regardées que comme un feul terme.

On écrit ordinairement le premier terme d'une équation feul dans le premier membre, & tous les autres dans le second, felon leur ordre, ou bien on les égale tous à zero, en les écrivant tous dans le premier membre de l'équation, felon leur ordre ; & en écrivant o feul dans le deuxième, en obfervant que le premier foit toujours fimple, & délivré de toute quantité connue, comme on voit dans l'équation suivante.

:

x2+ bxx-abx+ a3.

― cxx+bcx-aab:

+ dxx

+bcc.

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0.

DES EQUATIONS INDETERMINE'ES. III.LEs équations où il fe rencontre deux lettres inconnues, qu'on appelle auffi équations locales, fervent à construire les Problêmes indéterminez, comme celles où il ne s'en rencontre qu'une, fervent à construire les Problêmes déterminez. Mais parceque tant qu'il y a dans une équation deux lettres inconnues, en les regardant comme telles, on ne peut connoître ni l'une ni l'autre ; c'est pour cela qu'on eft obligé d'affigner à l'une des deux, une valeur arbitraire; & la regardant enfuite comme donnée, on pourra connoître la valeur de l'autre,

Et comme on peut affigner à la même inconnue une infinité de valeurs l'une après l'autre, l'autre inconnue en pourra auffi avoir une infinité. Mais en donnant ainfi differentes valeurs à une des inconnues d'une équation,

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on doit, à chaque fois, regarder cette équation comme une équation déterminée; & par confequent lui attribuer tout ce qu'on a dit dans l'Article précedent des équations déterminées. En effet, réfoudre, ou plutôt construire un Problême indéterminé, c'eft conftruire une infinité de fois un Problême déterminé.

REMARQUE.

1. LEs valeurs arbitraires que l'on affigne à une des lettres inconnues d'une équation indéterminée, doivent fouvent être limitées, & être renfermées dans certaines bornes. Et fi elles excedent ces bornes, les valeurs de l'autre inconnue, feront ou negatives ou imaginaires. Par exemple, dans cette équation x-b―y, toutes les valeurs arbitraires que l'on peut donner à l'inconnue y ne doivent point exceder la grandeur donnée 6, autrement celles de x feroient negatives, ce qui eft évident. Si l'on fait y=0, l'on aura x=b; & fi l'on fait y=b, l'on aura x=0; car l'équation deviendra x-b-bo. Dans cette équation xx = aa — yy, les valeurs arbitraires que l'on peut donner à l'inconnue y, ne doivent point exceder la grandeur donnée a: car autrement les valeurs de x feroient imaginaires, puifque tout le fecond membre de l'équation feroit negatif. Si l'on fait y=a, l'on aura xx=aa. & fi l'on faifoit y=o, l'on auroit xx=aa; donc x=+a. Mais dans cette équation axby, on peut donner telle valeur que l'on voudra à l'inconnue y: carx aura toujours une valeur pofitive, à moins que l'on ne faffe yo, au quel cas l'on aura ax, ou x= ON O.

·aa=0,

THE ORE ME.

2. SI l'on assigne à une des inconnues d'une équation indéterminée du premier degré, où elles ne font multipliées ni par elles-mêmes, ni entr'elles, tant de valeurs arbitraires qu'on voudra. Je dis que tous les points qui détermineront les valeurs correfpondantes de l'autre inconnue, feront dans une ligne droite,

DEMONSTRATION.

SOIT l'équation ay=bx, en la réduifant en Analogie l'on a a. bx. y; foit prefentement une ligne droite AH, dont le point A foit fixe; & ayant pris fur AH l'interFIG. 3. vale AB égal à la ligne donnée a, mené par le point B, la ligne BC égale à la ligne donnée 6, qui faffe avec AH tel angle qu'on voudra, & mené par A & C, la droite AG indéfiniment prolongée. Il eft clair qu'ayant pris sur AH un point quelconque D, mené DE parallele à BC; & nommé AD, x; & DE, y; l'on aura toujours a. b:: x. y, en quelque endroit de la ligne AH que l'on prenne le point D, ou ce qui eft la même chofe, quelque grandeur arbitraire que l'on affigne à l'inconnue x, celle de y fera toujours déterminée par la ligne AG. De forte que la ligne AG eft le lieu qui renferme tous les points qui fatisferont au Problême, qui doit être refolu par l'équation proposée ay=bx. C. Q. F. D.

COROLLAIRE I.

=

3. SI l'équation proposée étoit déterminée, comme ay = bc, ce feroit toujours la même chofe, excepté que la lettre qui tient la place de x, eft conftante; ainfi ayant FIG. 3. pris fur AH, AD=c, & mené DE parallele à BC; DE fera la valeur de y; mais en ce cas de tous les points de la ligne AG, il n'y a que le feul point E qui réfout le Problême, puifque ADc ne peut avoir differentes

valeurs.

COROLLAIRE II.

4. D'où l'on voit que les équations déterminées, &
indéterminées du premier degré, font de même genre;
puifqu'elles fe conftruifent par les mêmes lignes, & de la
même maniere.

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COROLLAIRE. III.

5. SI dans l'équation précedente ay — bx, a étoit égale à 6, elle deviendroit y=x; & il n'y auroit alors qu'à faire BC= AB ; & affignant à x la valeur arbitraire AD; FIG. 3. DE (y) parallele à BC, feroit égale à AD=x.

COROLLAIRE

IV.

6. Il est évident que dans toutes les équations indéterminées du premier degré, les inconnues ont entre elles un raport conftant, c'est-à-dire, qu'elles font l'une à l'autre comme une ligne donnée, à une ligne donnée, ou en raifon d'égalité: comme dans l'équation précedente ay=bx, où x. y :: a. b, & dans celle-ci y=x, ou x. y:: I. I.

COROLLAIRE V.

7.

On voit auffi que dans les équations indéterminées du premier degré, une des inconnues croiffant ou diminuant, l'autre croît auffi ou diminue; qu'elles peuvent toutes deux augmenter ou diminuer à l'infini, en gardant toujours entre elles le même raport.

THEOREM E.

8. SI dans une équation indéterminée qui n'est point du premier degré, & où par confequent les deux lettres inconnues font multipliées ou par elles-mêmes, ou entre elles, de quelque maniere que ce puisse ètre, l'on assigne à l'une des deux tant de valeurs arbitraires qu'on voudra. Je dis que tous les points qui détermineront les valeurs correfpondantes de l'autre, feront dans une ligne courbe.

DEMONSTRATION.

DANS les équations à la ligne droite, les inconnues gardent toujours (n°. 6.) entre elles un raport constant. Or lorfque dans une équation, les deux lettres inconnues font multipliées ou par elles-mêmes, ou entre elles, ou

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FIG. 4.

de l'une & de l'autre maniere tout enfemble; elles ou les lignes qu'elles expriment, ne peuvent garder le même raport dans toutes les variations ou changemens de valeur qu'elles peuvent recevoir : car il faudroit pour cela, que l'une des deux fût dans un des membres de l'équation, & l'autre dans l'autre, toutes deux feules, ou accompagnées feulement de lettres connues. Mais par l'hypothefe, ces deux lettres font multipliées ou par ellesmêmes ou entre elles; donc elles ne peuvent garder un raport constant dans tous les changemens de valeur qu'on leur peut affigner: c'eft pourquoi, en affignant tant de valeurs que l'on voudra à l'une des deux, les valeurs relatives de l'autre ne peuvent être déterminées par une ligne droite. Il faut donc qu'elles le foient par une ligne courbe. C. Q. F. D.

C'eft ici la preuve generale, chaque équation en fournit de particulieres, en les comparant à l'équation à la li gne droite, comme on va voir par l'exemple qui fuit. EXEMPLE.

9. SOIT l'équation yy = aa—xx, qui eft du fecond degré, Il eft clair, 1°. Que x croiffant, y diminue: car le fecond membre de l'équation devient d'autant plus petit, que x devient grande. 2°. On ne peut pas augmenter x en forte qu'elle furpaffe la ligne exprimée par a : car le fecond membre deviendroit negatif; & la valeur de y feroit par confequent imaginaire. 3. Si l'on fait x=a, l'équation deviendra yy =aa aao. Il eft donc évident que cette équation ne fe rapporte point à la ligne droite, puifque fes qualitez font toutes differentes de celles des équations du premier degré, & partant qu'elle fe rapporte à une ligne courbe.

Pour déterminer & décrire cette courbe par le moyen de fon équation yyaa-xx. Soit une ligne droite CH, donnée de pofition dont l'extrêmité C foit fixe, & dont les parties CP foient nommées x; foit une autre ligne CG perpendiculaire à CH, & dont les parties CQ foient nom

mées,

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