페이지 이미지
PDF
ePub

l'on mene MQ parallele à B C, & qu'on nomme CD, b'; en Laissant aux autres lignes les noms qu'on leur a donnez en la Proposition précedente. Je dis que l'exprellion Algebrique de la foutangente QH, fera

bb-yy

[ocr errors]
[ocr errors]

XX

[ocr errors]

ad - X

[ocr errors]

bb - yy

DEMONSTRATION. Pe érant le parallelogramme des coordonnées CQ= 'P M sera, y; & Me=CP, *. Et les triangles semblables PT M, MQH donneront TP( *). PM, (4) :: MQ(x). QH= : mais ( Prop. 1.) aa - XX aayy

aabb-dayy donc xx =

mettant donc cette i bb

bb valeur de xx dans celle de QH , l'on aura après la réduaion, QH

C. Q.F.D. g

COROLLA I Ą E. 12. Si l'on ajouté y=CQà QH=56–99, l'on aura CH=, d'où l'on tire ce (y). CD(6):: CD (6).

) CH (;). PROPOSITION X.

Theorême. F1G. 63. 13. Soit une Ellipse ADBE, dont AB & DE sont les axes

conjuguez; C, le centre ; MT, une tangente qui rencontre les axes conjuguez en H & en T. Je dis

que la ligne GOL parallele à la tangente MT fera divisée en deux également

bb

[ocr errors]

en O par la ligne MCV menée du point touchant M par le centre C.

Ayant mené par les points L, M,0,G, les lignes ZK, MP, OQ, GÅ perpendiculaires à l'axe AB, & par o la ligne ROŇ parallelē à AB qui rencontrera Ki en N, & XG en R ; & nommé les données AC, ou CB, a; CD, ou CE, b; & les indéterminées CP, *; PM,y; cl m; L X , ou OR, 2; QK, ou GN,S; A X sera a + m - K; BX, a--M+K; AK, a + m +/;&KB, am

Il faut prouver que GO=OL, ou ce qui est la même chofe, R (X)=ON (S).

و

D E'MONSTRATION. LEs triangles semblables CPM, CRO donnent CP (*). PM (y) :: CQm). 20 = =RX=KN:l'on

my

[ocr errors]

bb

[ocr errors]

bbzx

[ocr errors]
[ocr errors]

bb

my

[ocr errors]
[ocr errors]

aay

[ocr errors]

my

a aussi (no. 8.)CTS

& ( no. 1.) CH = &

g les triangles semblables TCH, ORG, ONL, donnent T )

CH ::OR (X). RG= &TC 6). CH

bbfx .

::ON(S).NL= ; donc XG= bbzx

bbfx & KL S Mais (art. 12. 81°. 5.) aa (CB*).bb

ттуу (CD):: mm + 2m2 - (A X X XB). 2bbrz b*zzxx

( XG'), & aa (CB). bb (CD') :: aa a*yy

mmyy 2bbms b*/fc3 mm 2m1-S (AKÝKB).

(KL)

a'yy d'où l'on trouve ces deax équations.

[ocr errors]
[ocr errors]
[ocr errors]

XX

dammyy

b*zzxx 'A. et 2bbmz +

aabb bbmm + 2bbmx

aayy bbzz, & aammyy

648x2 B.. 2bbms +

aabb bbmm 2bbmf

алуу - bbs, & ayant ôté la seconde de la premiere, le premier membre du premier, & le second du second , l'on aura celle-ci,

b+zzxx abbmx + abbmf +

= 2bbmz+2bbmf-bbzz

aayy aayy +bbs, d'où l'on tire zx=l; car après avoir effacé de

64220CIE l'équation D les termes qui se détruisent, il restera buffoca

bbzz + bbl. On divisera ce reste par bb,

[ocr errors]

aayy

[ocr errors]

aayy

[ocr errors]

= 0.

& l'on multipliera le quotient par aayy, il viendra bbzzxx

- bbfxx = aayyaz + aaslyy. On égalera le tout à ce qui donnera bbxxxx bbsxx + aayyaz + aasy On divisera cette équation par bbxx #aayy, & l'on aura au quotient 23-1=0, ou bien ze=fi ou =),OR =ON; donc GO=OL. C. Q. F. D.

La position de la ligne GL peut changer en bien des manieres à mesure que le point o s'approche ou s'éloigne du centre C., ou se trouve au-delà par raport à M: mais cela

ne peut au plus que changer les signes dans les expressions des lignes ÀX, XB, AK; KB, XG & KL, & l'on trouvera toujours 2=/; c'est pourquoi la Proposition est généralement vraye.

COROLL AIRE I, 14. Il est clair

que la ligne FCS menée par le centre C, parallele à la tangente MT est divisée en deux également par le centre C: car le point o tombant en C; GL devient FS, & comme le point M peut être pris indifferemment sur tous les points de l'Ellipse; il s'ensuit que toutes les lignes comme FCS, sont coupées par le milieu en C ; puisqu'elles peuvent toujours être paralleles à une tangente MT menée par l'extrêmité M d'une autre ligne MCV qui passe aussi par le centre C.

DEFINITIONS. is. Les lignes MCV, FCS qui passent par le centre d'une Ellipse sont nommées diametres , & lorsque deux diametres MCV , FCS sont posez de maniere que

l'un des deux FCS est parallele à la tangente MT menée par l'extrêmité M de l'autre MCV; ils sont noinmez dia. metres conjuguez; & les lignes OG, OL sont nommées ordonnées, ou appliquées au diametre MV.,

COROLLA IRE I I. 16. Il est évident que les ordonnées à un diametre quelconque sont divisées en deux également par le même diametre.

COROLLA IRE III. Il I est clair que la position des diamètres conjuguez est déterminée par la position de la tangente menée par l'une de leurs extrêmitez.

COROLL AIRE I V. 18. Si l'on ajoute les deux équations A & B de la proposition précédente, après avoir 'mis z en la place de li le premier membre au premier & te fecond au second, l'on aura celle-ci

2bbmm - 2bb7z,'ou, en supposant que le point O'tombe en c, auquel cas QK 지 devient CI, G L devient F.S; KL devient SI, & CQ=m devient nullę óu=0 ce qui

[ocr errors]

17.

[ocr errors]

2dammyy

26* ZZXX

[ocr errors]

= 2aabb

aayy

[ocr errors]

sa va

[ocr errors]

bb

bbzzxx détruit les termes où m se rencontre,

A4

-32,

aayy
d'où l'on tire =aa — xx, en mettant pour aayy

aayy leur aabb bbxx tirée de l'équation aa — *x = trouvée par la premiere Proposition ; d'où l'on conclud que CI°= APR PB:& que CP= AI ~ IB : car l'on a aussi xx = aa 2

༢༢

COROLLAIRE V. Si l'on fait dans cette équation xx = aa -2,3 FIG. 63. 19.

(CI)*(CP); les points. P & i se confondront en un F16. 64. feul point Y , & les deux diametres conjuguez MV,FS

seront égaux, & l'on aura 2xx = aa ; donc x=V-aa qui servira à déterminer leur position en cette forte. Soit prise CY moyenne proportionnelle entre CB & fa moitié, & menée par r la perpendiculaire MYS qui rencontrera l’Ellipfe aux points M&S, par où l'on menera les dia. metres conjuguez MV, FS qui seront égaux.

COROLLA IR E V I. F19.64.20, Il est clair que AY * YB=CY* :. car l'équation (no. 18. ) xx =

xx=aa- 42 subsiste toujours, quoique x= ou CPECI=CY.

COROLLA IR E VII. 21. AY

A Cause de ÀY x YB=cr= (no.19.) 1 aa ,l'on a (Art, 12. no. 5.) aa (Cr). yy ( PM) :: aa (CB). bb (CD), car ( Art. 12. no. s.) on a aa — xx.yy :: aa. bb. Mais (no. 19.) * = Vaa. Donc xx =

aa. Donc fubstituant aa dans le premier terme aa — xx de l'analogie precedente à la place de xx, on aura aa – į aa = { da wy;: aa : bl, d'où l'on cire y =V_bb, qui servira à trouver le point e fur CD, comme l'on a trouvé

« 이전계속 »