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l'on mene MQ parallele à B C, & qu'on nomme CD, b'; en Laissant aux autres lignes les noms qu'on leur a donnez en la Proposition précedente. Je dis que l'exprellion Algebrique de la foutangente QH, fera

bb-yy

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XX

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ad - X

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bb - yy

DEMONSTRATION. Pe érant le parallelogramme des coordonnées CQ= 'P M sera, y; & Me=CP, *. Et les triangles semblables PT M, MQH donneront TP( *). PM, (4) :: MQ(x). QH= : mais ( Prop. 1.) aa - XX aayy

aabb-dayy donc xx =

mettant donc cette i bb

bb valeur de xx dans celle de QH , l'on aura après la réduaion, QH

C. Q.F.D. g

COROLLA I Ą E. 12. Si l'on ajouté y=CQà QH=56–99, l'on aura CH=, d'où l'on tire ce (y). CD(6):: CD (6).

) CH (;). PROPOSITION X.

Theorême. F1G. 63. 13. Soit une Ellipse ADBE, dont AB & DE sont les axes

conjuguez; C, le centre ; MT, une tangente qui rencontre les axes conjuguez en H & en T. Je dis

que la ligne GOL parallele à la tangente MT fera divisée en deux également

bb

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en O par la ligne MCV menée du point touchant M par le centre C.

Ayant mené par les points L, M,0,G, les lignes LK, MP, OQ, GX perpendiculaires à l'axe AB, & par o la ligne ROŇ parallelē à AB qui rencontrera Ki en N, & XG en R,& nommé les données AC, ou CB, a; CD, ou CE, 6; & les indéterminées CP, X; PM,y; Cle m; L X , ou OR, 2; QK, ou GN,S; A X sera a + m - K; BX, a--M+ ; AK, a + m +/;&KB, am

Il faut

prouver que GO = OL, ou ce qui est la même chofe, R ()=ON (S.

DE'MONSTRATION. LEs triangles semblables CPM, CRO donnent CP (x). PM (y) :: CQ (m). 20 = =RX=KN:l'on

my

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bb

a aussi (no. 8.)C1= - & (no. 12.)CH= & les triangles semblables TCH, ORG, ONL, donnent T CH ::OR(_). RGS &TC 6).

bbfx CH ( ::ONIS).NL= ON.

3

donc XG=
bbfx
& KL S

Mais (art. 12. 8°. 5.) aa (CB').bb

bbzx

5 aay

bb

my

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bbzx

my

aay

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day

ттуу

zbbmz

(CD):: 1a - mm + 27% -4(A X X XB).

b*zzxx

(XG'), & aa (CB). bb (CD') :: aa a'yy

mmyy 2bbms b*/fc3 mm 2m1-S (AK RKB).

(KL)

a'yy d'où l'on trouve ces deax équations.

dammyy

b*zzxx 'A. et 2bbmz +

aabb bbmm + 2bbmx

aayy bbzz, & aammyy

648x2 B.. 2bbms +

aabb bbmm 2bbmf

алуу - bbs, & ayant ôté la seconde de la premiere, le premier membre du premier, & le second du second , l'on aura celle-ci,

b+zzxx abbmx + abbmf +

= 2bbmz+2bbmf-bbzz

aayy aayy +bbs, d'où l'on tire zx=l; car après avoir effacé de

64220CIE l'équation D les termes qui se détruisent, il restera buffoca

bbzz + bbl. On divisera ce reste par bb,

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aayy

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aayy

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= 0.

& l'on multipliera le quotient par aayy, il viendra bbzzxx - bbfxx = aayyaz + aaslyy. On égalera le tout à ce qui donnera bbxxxx bbsxx + aayyaz + aasy On divisera cette équation par bbxx #aayy, & l'on aura au quotient 23-1=0, ou bien ze=fi ou =),OR =ON; donc GO=OL. C. Q. F. D.

La position de la ligne GL peut changer en bien des manieres à mesure que le point o s'approche ou s'éloigne du centre C., ou se trouve au-delà par raport à M: mais cela

ne peut au plus que changer les signes dans les expressions des lignes ÀX, XB, AK; KB, XG & KL, & l'on trouvera toujours 2=/; c'est pourquoi la Proposition est généralement vraye.

COROLL AIRE I, 14. Il est clair

que la ligne FCS menée par le centre C, parallele à la tangente MT est divisée en deux éga

lement par le centre C: car le point o tombant en C; GL devient FS, & comme le point M peut être pris indifferemment sur tous les points de l'Ellipse; il s'ensuit que toutes les lignes comme FCS, sont coupées par le milieu en C ; puisqu'elles peuvent toujours être paralleles à une tangente MT menée par l'extrêmité M d'une autre ligne MCV qui passe aussi par le centre C.

DEFINITIONS. 15. L Es lignes MCV, FCS qui passent par le centre d'une Ellipse sont nommées diametres , & lorsque deux diametres MCV , F CS font posez de maniere que

l'un des deux FCS est parallele à la tangente MT menée par l'extrêmité M de l'autre MCV; ils sont noinmez dia. metres conjuguez; & les lignes OG, OL sont nommées ordonnées , ou appliquées au diametre MV..

COROLLA IRE I I.
16. Il est évident que les ordonnées à un diametre quel
conque sont divisées en deux également par le même
diametre.

COROLLA IRE III.
Il est clair

que la position des diametres conjuguez est déterminée par la position de la tangente menée par l'une de leurs extrêmitez.

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.

17.

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26* ZZXX

20ammyy

COROLLA IR E IV. 18. Si l'on ajoute les deux équations A & B de la proposition précédente, après avoir 'mis z en la place de li le premier membre au premier & te fecond au second, l'on aura celle-ci

2bbmm

al - 2bbzz, 'ou, en supposant

de fe point'Orombe en c auquel cas QK = devient CI, G L devient FS, KL devient SI,&CQ='m devient nullę óæ0 ce qui

= 2aabb

aayy

que le

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sa va

bb

bbzzxx détruit les termes où m se rencontre,

A4

-32,

aayy
d'où l'on tire =aa — xx, en mettant pour aayy

aayy leur aabb bbxx tirée de l'équation aa — *x = trouvée par la premiere Proposition ; d'où l'on conclud que CI°= APR PB:& que CP= AI ~ IB : car l'on a aussi xx = aa 2

༢༢

COROLLAIRE V. Si l'on fait dans cette équation xx = aa -2,3 FIG. 63. 19.

(CI)*(CP); les points. P & i se confondront en un F16. 64. feul point Y , & les deux diametres conjuguez MV,FS

seront égaux, & l'on aura 2xx = aa ; donc x=V-aa qui servira à déterminer leur position en cette forte. Soit prise CY moyenne proportionnelle entre CB & fa moitié, & menée par r la perpendiculaire MYS qui rencontrera l’Ellipfe aux points M&S, par où l'on menera les dia. metres conjuguez MV, FS qui seront égaux.

COROLLA IR E V I. F19.64.20, Il est clair que AY * YB=CY* :. car l'équation (no. 18. ) xx =

xx=aa- 42 subsiste toujours, quoique x= ou CPECI=CY.

COROLLA IR E VII. 21. AY

A Cause de ÀY x YB=cr= (no.19.) 1 aa ,l'on a (Art, 12. no. 5.) aa (Cr). yy ( PM) :: aa (CB). bb (CD), car ( Art. 12. no. s.) on a aa — xx.yy :: aa. bb. Mais (no. 19.) * = Vaa. Donc xx =

aa. Donc fubstituant aa dans le premier terme aa — xx de l'analogie precedente à la place de xx, on aura aa – į aa = { da wy;: aa : bl, d'où l'on cire y =V_bb, qui servira à trouver le point e fur CD, comme l'on a trouvé

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