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(no. 19.) le point y sur CA; & la perpendiculaire FQM déterminera aussi la position des deux diametres conjuguez égaux MCV, FCS.

COROLL AIRE VIII. 22. PUISQUE ( Art. 12. no.5.) AP PB,0u (no. 18.) CI".F16.63. PM' :: CB*. CD', & AIX I B ou (no. 13.) CP. 18' :: CB'. CD', l'on a C12. PM2::CP. IS', ou CI. PM:: CP.IS, d'où il suit que les triangles CPM, CIS sont égaux. PROPOSITION XI.

Theorême. 23. AYANT supposé les mêmes choses que dans la Pro- F16.63 position précédente. Je dis que le reftangle Vox O M des parties du diametre MV faites par l'appliquée OL est à OL', quarré de la même appliquée; comme V M; quarré du diametre VM , eft d F S , quarré du diametre conjugué à VM.

Ayant nommé AC, ou CB, a; CD, ou ČE,6; CP,
*; PM,Y:OR, ou ON, K; C,m; CV ou CM, d; FC,
ou CS ,f; CO,U; & O L OU OG,
Il faut prouver que dd - uu.[:: dd. ff :: 4dd. 4f.

D E' MONSTRATION.
L'ona ( art. 12.)
A. aa

, les triangles semblables MCP,
OCQ, donnent d(CM).x (CP):: u(CO). m (CQ);
donc
B.dm=ux,& les triangles femblables SCI, LON,&
ci'=(no, 18.)aa -- xx, donnent ff (CS*). aa — xx
(CI)::S (LOʻ). 32, (ON'); donc
C. frzaal - xxff.

En reprenant présentement l'équation du quatriême Corollaire de la Propofition précédente no, 18, qui étant divisée par 2 , devient,

aayy

bb

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ааттуу

b*zzxx D.

aabb bbmm - bb27, & en met.

aayy tant dans le numerateur du premier terme, & dans le dénominateur du second pour aayy,

sa valeur aabb bbxx

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caaff xxl l'équation B , & pour 25, fa valeur

tirée de l'é.

f quation C, l'on aura après les réductions & transpositions,

ddf dd

d'où l'on tire dd - uu.l :: dd.f:: 4dd.

ff 41. C. l. F. D.

COROLLA I R E I. 24. SIMV & F S sont les deux diametres conjuguez égaux, d sera =f; & l'équation deviendra dd uu = s, qui seroit une équation au cercle, & l'appliquée OL faisoit un angle droit avec CM.

D E' FINITION,

25. Si l'on fait d. f:: 2f. p, la ligne p sera appellée le parametre du diametre MV.

COROLLAIRE II. 26. L A proportion dif:: 2f. p donne dp = 2ff; donc en multipliant par d, l’on a ddp= 2dff; donc cente c'est pourquoi fi l'on met dans l'équation précédente pour la valeur, l'on aura dd

2051 d'où l'on tire dd - uu. :: 2d.p.

COROLLAIRE

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COROLL AIRE II I. 27. Lon peut encore mettre pour un autre raport

==; & l'on aura dd - uu=mff, d'où l'on tire tire dd uu.] :: M. n.

On ajoutera ici les mêmes choses que l'on a dites art. 12, no. 9, 10, 11, 12, 13,

& 14

PROPOSITION XII.

Theorême. 28. Les mêmes choses étant encore supposées, le l'on mene Gq parallele à MV. Je dis que Fq xas. Gʻ:: FS'. VM'.

En nommant encore CM, ou CV, d; CS, ou CF; f;co, ou qG, u;OG, ou Cq,/; Fq sera f -; &qS, f+f.

Il faut prouver que ff - 1. uu :: 4ff. 4dd.

D E M O N S T R A TI O N.

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EN reprenant l'équation de la Proposition précédente

dds dd

la multipliant par jf, transposant & divif

ffuu sant par dd, l'on en tirera ff - = qui donnera f -luu:: ff. dd :: 4ff. 4dd. C. Q. F. D.

dd

D E' FINITIO N. 29. I l'on fait f.d:: 2d.p, la ligne =p sera appellée le parametre du diametre F $.

P

COROLL AIR I. 30. LA Proportion précédente donne pf

2dd; donc f pf='2fdd, ou mettant donc dans l'équation

P
f

f précedente pour

sa valeur l'on aura ff-= dd

P d'où l'on cire ff - Muu :: 26. p.

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dd

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COROLLAIRE

31. L'on peut encore changer le raport

I I.
if af

ou
dd2

P

en

m

mus

ce

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un autre raport égal, & l'on aura ff -/= qui donne ff -.:: M. n.

On ajoutera encore ici ce qu'on a dit art. 12. no. 9, 10, 11, 12, 13 & 14.

COROLLA I RE III. 32. Il est clair ( no. 25.& 29.) que le re&angle de l'un des diametres conjuguez par son parametre est égal au quarré de l'autre diametre.

PROPOSITION XIII.

Problême. 33. Dev X lignes quelconques FS & MV qui se coupent par le milicu on Č à angles obliques étant données de position & de grandeur pour deux diametres conjuguez d'une Ellipse, déterminer la position & la grandeur des axes de la même Ellipse.

Cette Proposition concient deux cas qu'on pourroic néanmoins réduire à un seul, comme on va voir dans le second : le premier est lorsque les lignes FS & MV sont égales : le second lorsqu'elles sont inégales.

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PREMIER CA s. 34. AYAN

A N T joint les points M, S&M, F, & ayant F16.65. divisé MS & MF par le milieu en P&l, on menera les lignes CP, CQ indéfiniment prolongées de part & d'autre qui se couperont à angles droits en C, puisque CS, CM, CF sont égales , & que les points P & e divisent par

le milieu MS & MF. Soit ensuite fait PI = CP & QH=CQ, & du centre C par 1, & par H décrit deux cercles qui couperonc CP, & CQ aux points A, B, D & E. Je dis que l'Ellipse dont AB & D E sont les axes , passera par les points M, F, V & S.

DEMONSTRATION. AYANI

A NT nommé AC, ou CB, a; CD, ou CE,b; CP , ou PI , *; PM, ou CQ, ou QH,y; l'on a par la propriété du cercle , & par la Construction, aa - xx ( AP * PB) = xx ( PI", ou CP ), & bb - yy ( EQxQD) =yy / QH, ou CQ), d'où l'on tire x=vaa, & y =Vibb; c'est pourquoi ( no. 19. & 21.) les points S, M, V & F, sont à l'Ellipse dont les axes sont AB, & D E. C. l. F. D.

SE COND

Cas. 35.

Soit I prolongée CM du côté de M, & soit faite F16.66. MK prise sur le prolongement, égale à la troisiéme proportionnelle à CM & CS ; & ayant mené par M la droite HMT parallele à FS, du point 0 milieu de CK, on élévera la perpendiculaire OG qui rencontrera HMT en un point G; puisque ( no. 13.) MT est tangente à l'Ellipse dont MV & F S sont deux diametres conjuguez ; & que (no. 10.) l'angle CMT est obtus, & du centre G par C, i'on décrira un cercle qui passera par K, & coupera MG aux points T & H par où, & par C, l'on menera T C, & HC indéfiniment prolongées au-delà de C. par raport à T & à H : l'on menera ensuite MP & MQ paralleles à

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