CH & à CT ; & ayant pris CB moyenne proportionnelle entre CT & C P; CD, moyenne proportionnelle entre CH & CQ, fait CA CB, & CE CD. Je dis que l'Ellipfe dont AB & ED ( qui à caufe du cercle le coupent à angles droits) font les axes, paffera par les points M, F,V & S. = = DE'MONSTRATION. AYANT abaiffé du centre G fur CT la perpendiculaire GN, le point N divifera CT par le milieu en N; & partant NG CH, & ayant abbaiffé du point S fur la même CT la perpendiculaire SI, & nommé les données CB, ou CA, a ; CD, ou CE, b; CM ou CV, d; CF, ou CS, f; & les indéterminées CP, ou QM, x; PM, ou CO2y; & CI, L; l'on aura (Conft.) CP(x). CB (a) :: CB (a). CT bb da & CQ (y). CD (b) :: CD(b). CH= donc NT= -y, & les triangles femblables CIS, MOH, TPM donneront CI (z). CS (ƒ) :: MQ ( x). MH = f*, & CI ( z ). CS (f) :: TP CI(z). donc HM + MT, ou aaf 2Zx (GT') = donc à caufe de b+ + (NT'+ 4XX 4yy Mais l'on a auffi bb MQ(x). QH ( +/− y) :: CZ (3), IS = bbz zy xy b*zz ххуу b1zzxx ༢༢. + a*yy donc à cause de l'angle droit CIS, ff (CS') = ༢༢ ; cette équation délivrée de fractions za*bbyya'y*. Pour abreger encore il faut divifer cette équation par , qu'il faut égaler à o, & l'on aura Laquelle étant divifée par aabb+bbxx-aayy, il viendra au quotient aabb - bbxx à cette équation aa — xx = qui est une équation à par aayy une Ellipfe dont les axes font ( Prop. 1. ) AB= 2a, & Conft. CS')=ff, d'où l'on tire «1⁄2= aa-xx; c'est pourquoi ( no. 18.) l'Ellipfe paffe auffi par les points S & F. C. Q. F. D. REMARQUE. POUR trouver le diviseur aabb — aayy bbxx, tirez la racine quarrée de l'équation marquée (A) vous aurez +bbxx, laquelle étant réduite à o, aayy -bbxx, qui fera le divifeur Si vous voulez une maniere plus générale pour trouver ce diviseur, ordonnez l'équation A en cette forte, Ajoutez de part & d'autre le quarré ba de la moitié bb du coefficient 266 du fecond terme 2bbyy, & vous aurez E. y* — 2bbyy + b2 = y b*x* Tirez la racine quarrée de part & d'autre, & vous aurez Multipliez tout par aa, & vous aurez aayy — aabb +bbxx. Faifant paffer tout d'un côté, vous aurez les deux équations aayy — aabb + bbxx=0, & aayy aayy — aabb bbxxo, à cause qu'un quarré pofitif a toujours deux racines, l'une pofitive & l'autre négative. Enfin changeant les fignes de la premiere de ces deux dernieres équations, vous aurez aabb aayy — bbxx bbxx = o, qui est le diviseur cherché. = COROLLAIRE. = 36. SI MV = FS, CM fera MK; car par la conftruction MK a été faite égale à la troifiême proportion nelle, à CM & CS. Donc fi MV=FS, par conféquent CM CS. Donc CM=MK; & partant les points O & G fe confondront avec le point M, qui fera le centre du cercle qui étant décrit par C déterminera la pofition des axes par fa rencontre avec HT en H & en T, qu'on déterminera comme on vient de faire. PROPOSITION XIV. Problême. UNE équation à l'Ellipse ab XX= evy étant donnée, décrire l'Ellipfe, lorfque les coordonnées font un angle oblique. On déterminera la grandeur des diametres conjuguez par la Prop. 6. on trouvera les axes par la Propofition précedente, on déterminera les foyers par la troifiême, & on décrira l'Ellipfe par la premiere. Où l'on démontre les principales proprietez de l'Hyperbole décrite par des points trouvez Jur un Plan. XIV. PROPOSITION I. UN Theorême. N angle quelconque HCK, & un point quelconque D dans cet angle, étant donnez de pofition fur un Plan; fi l'on mene librement par le point D une ligne IDK qui rencontre CH & CK en I& en K, &qu'on prenne fur IDK la partie KO=ID. Je dis que les points O&D, & tous ceux que l'on trouvera comme on vient de faire le point O, en menant d'autres lignes par le point D, feront à une Hyperbole, dont CH & CK font les afymptotes. DEMONSTRATION. AYANT mené par les points D & O, les lignes DL, OG paralleles à CK, & DN, OF paralleles à CH, & nommé les données DL, ou CN, ou (Conft.) FK, c; car KN OG, puifque le triangle KDN a fes côtez égaux aux côtez du triangle OGI, chacun à chacun. 10. Le côté KD-01; car (par conftruction) KO=DI. Donc ajoutant OD, on aura KD=0I. 2°. L'angle adjacent NKD eft égal à l'angle adjacent GOI, puifqu'ils font externe & interne du même côté. 3°. L'autre angle adjacent NDO eft auffi égal à l'autre angle adjacent GIO FIG. 67. = d. ༢; par la même raison. Donc le triangle NKD est égal au triangle GOI. Donc leurs côtez font égaux chacun à chacun. Donc KN=OG. Mais OG FC, étant paralleles entre-elles, & comprises entre les mêmes paralleles OF, GC, par conftruction. Donc KN=FG. Donc ôtant FN de part & d'autre, il reftera FK = CN=DL. Reprenons. Ayant donc nommé DL, ou CN ou FK, c; DN, ou LC, d; & les indéterminées CF, ou GO, f; FO, ou CG ou NR, z; NF ou RO feraf-c, & DR, d―z; les triangles femblables DRO, OFK donneront d ༢. (DR). —c (RO) :: z(OF). c (FK); donc cd- cz— Szcz, ou cd=fz. Et comme cette équation est la même que celle qu'on a trouvée (art. 9. no. 16.), il fuit que la courbe décrite comme on vient de dire, cft une Hyperbole. Et parceque fcroiffant, z diminue, ou au contraire, & qu'on peut augmenter à l'infini, z diminuera auffi à l'infini; c'eft pourquoi les lignes CH, & CK font les afymptotes, parcequ'elles ne peuvent jamais rencontrer l'Hyperbole. C. Q. F. D. ༢. L'équation cd=fz peut auffi fe réfoudre par le cercle. FIG. 68. Car faisant un cercle ABC, dont le rayon CA fera pris à volonté, fi on mene la corde AB, dont AD = c & DB=d, & que par le point D qui fépare les deux lignes données, on tire à volonté une autre corde EG, la ligne ED fera égale à z, & DG égalera f. Mais comme on peut prendre le rayon du cercle auffi grand que l'on voudra, il est manifeste que & Saugmenteront à l'infini, COROLLAIRE I. FIG. 67. i. I L eft clair que tous les rectangles semblables à CF × FO font égaux entr'eux, puifqu'ils font toujours égaux au même rectangle CL x LD; & que l'on a toujours z cd. 2. SI l'on prend fur l'Hyperbole un point quelconque B, & que l'on mene par Bune ligne quelconque TBVS |