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CH & à CT ; & ayant pris CB moyenne proportionnelle
entre CT & CP; CD, moyenne proportionnelle entre
CH&CQ, fait CA=CB, & CE=CD. Je dis que
l’Ellipse dont AB & ED ( qui à cause du cercle le coupent
à angles droits ) font les axes, passera par les points
M,F,V & S.

DEMONSTRATION.
AYA

ANT abaissé du centre G sur CT la perpendiculaire
GN, le point N divisera CT par le milieu en N;& partant
NG=<CH, & ayant abbaissé du point S sur la même
CT la perpendiculaire Si, & nommé les données CB,
ou CA, a; CD, ou CE, 6; CM ou CV, d; CF , ou CS,
f; & les indéterminées CP, ou QM, x; PM, ou ClY;
& CI, K; l'on aura ( Const.)
CP(x).CB (a) :: CB(2).CT &

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aa

bb

1

X

*, & Q H = - y, & les triangles semblables
CIS, MQH, TPM donneront CI (). CS (f)

fx
:: Me (*). MH & CI(%).CS (F)::TP

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bbz

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ху

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M2(*).QH (;-4):: Cu(). IS=
donc à cause de l'angle droit CIS, ff (CS') = 38+

(CI' + 15') ; donc 23+

b zz

xxyy

zbbzz

zzyy

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XX

a'yy

b* zz

2bbzz

zzyy

aayy, il vien

aayy

cette équation délivrée de fractions ххуу donnera A. 6*x* à*6* 2a*bbyy + a'y

Pour abreger encore il faut diviser cette équation par 23, qu'il faut égaler à o, & l'on aura B. a*b* 2a’bbyy + a*y* — 6*x*

6*x* =0. Laquelle étant divisée par aabb+bbxx — aayy, dra au quotient aabb bbxx

aayý=0, qui se réduit à cette équation aa – xx = qui est une équation à

bb une Ellipse dont les axes sont ( Prop. 1. ) AB= 2a, & DE=26, & qui prouve au moins que cette Ellipse passe par les points M, & V ; puisque (Hyp.) CM=.

Or ( Const.) CM (d).CS (f):: CS(f). MK=; mais

aaffx ffaa par la proprieté du cercle

(HM MT = CM

MK= Const. CS')=ff, d'où l'on tire <= aa — xx; c'est pourquoi ( no. 18.) l'Ellipse passe aussi par les points S & F. C. Q. F. D.

R E M A R u E. Pour trouver le diviseur aabb

aayy bbxx,

bbxx, tirez la racine quarrée de l'équation marquée ( A) vous aurez aabb aayy=+bbxx , laquelle étant réduite à o, donnera aabb

aayy

bbxx

= 0, qui sera le diviseur cherché.

Si vous voulez une maniere plus générale pour trouver ce diviseur, ordonnez l'équation X en cette forte,

ZZX

ZZ

bbxx

aa

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C. a*y* — 2a*bbyy = 6*** - a*b*.

Divisez-la par a', & vous aurez D. y* — 2bbyy = 64.

Ajoutez de part & d'autre le quarré b* de la moitié bb du coefficient 2bb du second terme 2bbyy, & vous aurez

6*** E. y* — 2bbyy + 6 =

Tirez la racine quarrée de part-& d'autre, & vous aurez F. yy - 66

+ Multipliez touc par aa , & vous aurez aayy

aabb =+bbxx. Faisant passer tout d'un côté, vous aurez les deux équations aayy - aabb + bbxx=0,&

bbxx=0, à cause qu'un quarré positif a toujours deux racines, l'une positive & l'autre négative. Enfin changeant les signes de la premiere de ces deux dernieres équations, vous aurez aabb

-aayy bbxx = 0, qui est le diviseur cherché.

COROLLA IR E. 36. SI MV=FS; CM fera=MK; car par la constru&tion MK a été faite égale à la troisième proportion, nelle , à CM & Cs. Donc si MV=FS, par conséquent CM= Cs. Donc CM=MK ; & partant les points o & G se confondront avec le point M, qui sera le centre du cercle qui étant décrit par c déterminera la posicion des axes par sa rencontre avec HT en H & en T, qu'on déterminera comme on vient de faire. PROPOSITION XIV.

Problême. UNE équation à l’Ellipse ab com étant donnée, décrire l'Ellipse, lorsque les coordonnées font un angle oblique.

On déterminera la grandeur des diametres conjuguez

1

XX =

par la Prop. 6. on trouvera les axes par la Proposition précedente; on déterminera les foyers par la troisiême, & on décrira l’Ellipse par la premiere.

SECTION VIL l'on démontre les principales proprietez de l'Hyperbole décrite par des points trouvez

sur un Plan.

PROPOSITION I.

Theorême.

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le

XIV. N angle quelconque HCK, & un point quel. F16.67

conque D dans cet angle, étant donnez de position sur un Plan; si l'on mene librement par le point D une ligne ID K qui rencontre CH & CK en I den K, e qu'on prenne sur ID K la partie KO=ID. Je dis

que les points o&D, & tous ceux que l'on trouvera comme on vient de faire le point o, en menant d'autres lignes par point D, seront à une Hyperbole , dont CH & CK sont les asymptotes.

DEMONSTRATION. AYANT mené

par les points D & 0, les lignes DL, OG paralleles à CK, & DN, OF paralleles à CH, & nommé les données DL, ou CN, ou (Const.) FK, C; car KN= OG, puisque le triangle KDN a ses côtez égaux aux côtez du triangle OGI, chacun à chacun. 10. Le côté KD=01; car (par construction ) KO=DI. Donc ajoutant OD, on aura KD=01. 2°. L'angle ad jacent NKD est égal à l'angle adjacent GOI, puisqu'ils font externe & interne du même côté. 3o. L'autre angle adjacent NDO est aussi égal à l'autre angle adjacent G10

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par la même raison. Donc le triangle NKD est égal au Triangle G01. Donc leurs côtez sont égaux chacun à chacun. Donc KN=OG. Mais OG= FC, étant paralleles entre elles, & comprises entre les mêmes paralleles OF, GC, par construction. Donc KN= FG. Donc ôrant FN de part & d'autre, il restera FK=CN=DL.

Reprenons. Ayant donc nommé DL, ou CN ou FK,c; DN, ou LC, d; & les indéterminées CF, ou GO,[; FO, ou CG ou NR, R; N F ou RO sera /---,& DR, d Zi les triangles semblables DRO, OFK donneront d (DR). /-(RO) :: Z(OF). < (FK); donc cd -2= fa-f%, ou cd=. Et comme cette équation est la mê. me que celle qu'on a trouvée ( art. 9. no. 16.), il suit que la courbe décrite comme on vient de dire, est une Hyperbole. Et parceque / croissant, & diminue, ou au contraire, & qu'on peut augmenter à l'infini , & diminuera aussi à l'infini ; c'est pourquoi les lignes CH, & CK sont les asymptotes, parcequ'elles ne peuvent jamais rencontrer l'Hyperbole. C. l. F. D.

L'équation cd=(x peut aussi se résoudre par le cercle. Fig. 68. Car faisant un cercle ABC, dont le rayon CA sera pris

à volonté, si on mene la corde AB, dont AD=i& DB=d, & que par le point D qui sépare les deux lignes données, on tire à volonté une autre corde EG , la ligne ED sera égale à 2, & DG égalera . Mais comme on peut prendre le rayon du cercle aussi grand que l'on voudra , il est manifeste que z & augmenteront à l'infini.

COROLLAIRE I. F16.67. 1. Il est clair que tous les rectangles semblables à CF x

FO sont égaux entr'eux, puisqu'ils sont toujours égaux au même rectangle CL * ID; & que l'on a toujours fa

= cd.

COROLLAIRE II. 2. Si l'on prend fur l’Hyperbole un point quelconque B, & que l'on mene par B une ligne quelconque TBVS

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