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qui rencontre l'Hyperbole en un autre point, & les afymptotes en 7 & en S, TB fera toujours égale à VS: car ayant mené BX & VQ, paralleles aux afymptotes, l'on aura (Corol. 1.) CX x XB = CQ × QV, ou ( en nommant CX, d; XB, c; C Q, S ; QV, 2 ; ) [1⁄2 = cd, ou sz cz= cd cz, qui étant changée en analogie, donne dz. -c:: z.c d'où il fuit par la Démonstration de cette Propofition que XB=QS; donc TB

=VS.

3.

IL eft clair

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COROLLAIRE III.

que les parallelogrammes CD, CB, CO, CV font égaux entr'eux.

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4.SI l'on avoit nommé NF, ou RO,, l'on auroit eu z = cd — cz, qui montre que lorfqu'une équation à T'Hyperbole renferme plus de deux termes, les indéterminées n'ont point leur origine au fommet de l'angle des afymptotes.

5.IL

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Left évident que lorsqu'on décrit une Hyperbole par un point fixe, comme D, les points O que l'on trouve en faisant KO = DI peuvent fervir à en trouver d'autres comme B, & B à en trouver d'autres comme V, &c.

PROPOSITION II.

Theorême.

G.

6. EN fuppofant les mêmes chofes que dans la premiere F16.67% Propofition, fi l'on mene par le fommet C de l'angle des afymptotes une ligne quelconque CM qui rencontre ỔG & DL, prolongées ou non prolongées en P& en M. Je dis que le rectangle CM× CN, ou CM × LD eft.égal au rectangle CP x CF, ou CP × GO.

Ayant nommé les données CZ, d; CN, c; CM,a, & les indéterminées CF, ou GO,f; CG, ou FO,z; CP, u. Il faut prouver que ac = us.

DE'MONSTRATION.

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A Caufe des triangles femblables CLM, CGP l'on a CL. CM:: CG. CP, ou en termes algebriques d. a :: 2. u ; donc du = az: mais (Prop. 1. ) f1⁄2= cd, d'où l'on tire = 4; mettant donc cette valeur de ༢. dans l'équation précédente, l'on aura fuac. C. Q. F. D.

On peut encore démontrer cette Propofition en cette forte. A caufe des paralleles DM, OP, l'on a CL. CG:: CM.CP; c'eft pourquoi en mettant dans l'équation de la Propofition précédente = cd, en la place de d (CL) & dez ( CG ) leurs proportionnelles a (CM) & u (CP), l'on aura fu=ac.

PROPOSITION III.

Problême.

FIG. 69.7. UNE Hyperbole MBm, dont les afymptotes font CT; &CH, étant donnée, il faut d'un point quelconque B, donné fur l'Hyperbole, mener une tangente HBT.

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Ayant mené par B les droites BG & BI paralleles
aux afymptotes, foit prife IT =
CI. Je dis que la ligne
TBH menée du point 7 par B touchera l'Hyperbole en
B, & ne la rencontrera en aucun autre point,

T

DE'MONSTRATION.

PAR l'Hypothese TBH rencontre l'Hyperbole en B ;
& parceque CI=IT, TB sera auffi
TB fera auffi = BH; d'où il fuit
que BTH ne rencontre l'Hyperbole qu'en un feul point
B: car fi elle la rencontroit en un autre point 0; HO
(n°. 2.) BT feroit BH. ce qui eft impoffible. C'est
pourquoi TBH touche l'Hyperbole en B. C. Q. F. D.

=

=

COROLLAIRE I.

8. IL eft clair que toutes les tangentes, comme TBH terminées par les afymptotes en T & H, font divifées en deux également par le point touchant B.

9.

COROLLAIRE II.

IL fuit auffi que fi la position de la tangente TBH, eft telle que la ligne menée de l'angle C des afymptotes au point touchant B, divise cet angle en deux également, les angles CBH, CBT feront droits, & au contraire: car puifque les angles BCG, BCI font égaux, le parallelogramme GI fera un rhombe; & partant CI=CG; donc CT (no. 6.) double de CI = CH double de CG; c'est pourquoi les angles CBH, CBT font droits.

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10.IL fuit encore que fi l'angle des asymptotes HCT est droit dans toutes les Pofitions de la tangente TBH, la ligne CB menée de l'angle des afymptotes au point touchant B fera = BH = BT; fi cet angle eft aigu, CB furpaffera BH, ou BT; s'il eft obtus CB fera moindre que BH, ou BT: car fi du centre B milieu de HT l'on décrit un demi cercle fur le diametre HT, le point C fera fur la circonférence fi l'angle HCT eft droit, hors du demi cercle, s'il eft aigu; & dans le demi cercle, s'il eft obtus; donc au premier cas CB = BH ou BT; au fecond, CB, furpaffe BH, ou BT; & au troifiéme, elle est moindre.

COROLLAIRE I V.

11. Il est encore manifeste que les lignes ZK, Mm paralleles à la tangente HBT font coupées par le milieu en P par la droite CB prolongée, car puifque BH = BT, PL fera PK: mais (n°. 2.) ML= = mK;

PMPm.

donc

12.

PROPOSITION IV.

Problême.

UNE équation à l'Hyperbole xy = aa étant donnée, décrire l'Hyperbole.

On voit par l'équation, qui n'a que deux termes, que l'origine des indéterminées x, & y eft au fommet de l'angle des afymptotes.

Soit C l'origine des indéterminées x, qui va vers T, & y qui va vers H, & ayant pris CI & CG chacune = a, on achevera le parallelogramme CGBI: & l'on décrira (Prop. 1.) l'Hyperbole MBm, entre les afymptotes CT

& CH.

DEMONSTRATION.

ELLE eft évidente par la premiere Propofition,

PROPOSITION V.

FIG. 69.13. SOIT

Theorême.

une Hyperbole MBm dont CH & CT font les afymptotes; foit aufli par un point quelconque B, menée (no. 7.) une tangente HBT, & du point C par le point touchant B la ligne CBP. Si par quelque point P, l'on mene PM parallele à HT, qui rencontre l'Hyperbole aux points M&m, & les afymptotes en L & K. Je dis que CPCB. PM':: CB. BH', ou ce qui revient au même, ayant prolonge BC en A, & fait CA = = CB, que A P× PB.

PM2:: AB'. TH2.

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Ayant mené BI, BG, mQ & mN paralleles aux afymprotés, & nommé les données AC, ou CB, a; BH, ou BT, b; CI, ou GB, c; CG, ou IB, d; & les indéterminées CP, x; PM, ou Pm, y; CQ, ou Nm, f; CN ou Qm, z; AP sera x + a, & BP, x — a.

aa. yy :: aa. bb:: 4aa. 4bb.

Il faut prouver que xx-aa. yy :: aa.

دلو

mL =

DEMONSTRATION.

bx

LES triangles semblables CBT, CPK donnent CB
(a). BT (b) :: CP (x). PK; donc mK=
bx+y; & à caufe des triangles fembla-
bles TBI, KmQ, & BHG, mL N, l'on a b (TB). d
(BI) :: bx — y (Km). z(mQ), & b (BH). c (BG)
:: bx +y (mL). S (mN), d'où l'on tire ces deux équa-
tions bz bdx dy, & bf = bcx + cy, & en multipliant

=

bcx+cy,

le premier membre de l'une par le premier de l'autre, &

le second par le fecond, l'on a bbfz=

bbcdxx

aa

par la premiere Proposition s1⁄2=cd; donc bb

cdyy: mais

bbxx

αα

yy, en divifant par les quantitez égales fz, & cd; d'où

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COROLLAIRE I.

14. IL est évident (Art. 9. n°. 7, 11 & 12), & par cette

équation xx-aa —

aayy qui eft la même

bb

que

celle du

même Article no. 11, que le point C, eft le centre de l'Hyperbole MBm, que A B est l'axe, fi l'angle CBH FIG.70. eft droit; autrement AB eft nommée diametre déterminé; que D E parallele & égale à HT est l'axe, ou le diametre conjugué à AB, que MP & MF font les ordonnées ou appliquées aux diametres conjuguez AB & DE. De forte que F P eft le parallelogramme des coordonnées,

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