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qui rencontre l'Hyperbole en un autre point V, & les asymptotes en T & en S, TB fera toujours égale à VS: car ayant mené BX & VQ, paralleles aux alymptores , l'on aura ( Corol. 1.) C.X X XB=CQQV , ou ( en nommant cx, d; XB, C; CQ,S; QV, 2;)(= cd, ou fa- ck=cd cz, qui étant changée en analogie, donne de

2:1-6:: 2.0 d'où il suit par la Démonstration de cette Proposition que XB=OS; donc TB =VS. COROLLA IR E

III. 3. Il est clair

que les parallelogrammes CD, CB,CO, CV sont égaux entr'eux.

COROLLA I R E IV. 4. Si l'on avoit nommé NF, ou RO,S, l'on auroit eu R=cd , qui montre que lorsqu'une équation à l'Hyperbole renferme plus de deux termes , les indéter-, minées n'ont point leur origine au sommet de l'angle des asymptotes.

CORO ILLAIRE V. s.IL L est évident que lorsqu'on décrit une Hyperbole par un point fixe, comme D, les points o que l'on trouve en faisant KO=DI peuvent servir à en trouver d'autres comme B, C B à en trouver d'autres comme V , &c. PROPOSITION II.

Theorême. 6. En supposant les mêmes choses que dans la premiere F16.672 Proposition', si l'on mene par le sommet C de l'angle des asymptotes une ligne quelconque CM qui rencontre o G & DL, prolongées ou non prolongées en P & en M. Je dis que le rectangle CM ~ CN, ou CM ~ LD eft.égal au reftangle CP CF, ou CP x GO.

Q

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= ac.

Ayant nomme les données CL, d; CN, C; CM, a, & les indéterminées CF, ou GO,/; CG , ou F0, 2; CP, u. Il faut prouver que ac = = us.

DEMONSTRATION. A Cause des triangles semblables CLM, CGP, l'on a CL. CAL :: CG. CP, ou en termes algebriques d. a :: 2. u; donc du =az: mais ( Prop. 1.)f=cd, d'où l'on tire =; mettant donc cette valeur de

dans l'équation précédente , l'on aura su= ac. C. l. F. D. | On peut encore démontrer cette Proposition en cette sorte. À cause des paralleles DM,OP, l'on a CL. CG:: CM.CP; c'est pourquoi en mettant dans l'équation de la Proposition précédente są=cd, en la place de d ( CL) & de 3 ( CG ) leurs proportionnelles a ( CM ) & #(CP), l'on aura su PROPOSITION II I.

Problême. F16.69.7. UNE Hyperbole MBm , dont les asymptotes font CT;

CH, étant donnée , il faut d'un point quelconque B, donné sur l'Hyperbole , mener une tangente HBT. .

Ayant mené par B les droites B G & B I paralleles aux asymptotes, soit prise IT =CI. Je dis

que TBH'menée du point 7 par B touchera l'Hyperbole en B, & ne la rencontrera en aucun autre point,

D E'M ONSTRATION. Par l’Hypothese TBH rencontre l'Hyperbole en B; & parceque CI=IT, TB sera aussi = BH; d'où il suit que BT H ne rencontre l'Hyperbole qu'en un seul point B: car si elle la rencontroit en un autre point 0 ; HO ( no.2.)=BT seroit= BH.ce qui est impossible. C'est pourquoi T BH touche l'Hyperbole en B. c. Q. F. D.

la ligne

COROLLAIRE I. 8. Il est clair que toutes les tangentes, comme TBH terminées par les asymptotes en T & H, sont divisées en deux également par le point touchant B.

COROLLAIRE I J. 9. Il suit austi

que si la position de la tangente TBH, est telle que la ligne menée de l'angle C des asymptotes au point touchant B, divise cet angle en deux également, les angles CBH, CBT seront droits, & au contraire : car puisque les angles BCG, BCI sont égaux, le parallelogramme GI sera un rhombe ; & partant CI=CG; donc CT (no. 6.) double de CI = CH double de CG; c'est pourquoi les angles CBH, CBT sont droits.

COROLLAIRE III. jo. Il suit encore que si l'angle des asymprotes HCT est droit dans toutes les Positions de la tangente TBH , la ligne CB menée de l'angle des asymptotes au point tou. chant B fera = BH=BT ; fi cer angle est aigu, CB surpassera BH, ou BT ; s'il est obtus C B sera moindre que BH, ou BT : car si du centre B milieu de HT l'on décrit un demi cercle sur le diametre HT, le point C sera sur la circonférence si l'angle HCT est droit ; hors du demi cercle, s'il est aigu ; & dans le demi cercle , s'il est obtus; donc au premier cas CB=BH ou BT ; au second, CB , surpasse BH, ou BT; & au troisiéme , elle est moindre.

COROLLAIRE IV. u. Il est encore manifeste que les lignes IK , Mm ralleles à la tangente HBT sont coupées par le milieu en P par la droite CB prolongée, car puisque BH = BT, PL sera =PK: mais (no. 2.) ML=

=mK;

donc PM= Pm.

PROPOSITION IV.

Problême. 12. Une équation à l'Hyperbole xy = aa étant donnée, décrire l'Hyperbole. On voit par l'équation, qui n'a que

deux termes, que l'origine des indéterminées x, & y est au sommet de l'angle des asymptotes.

Soit c l'origine des indéterminées x, qui va vers T, &y qui va vers H , & ayant pris CI & CG chacune =a, on achevera le parallelogranime CGBI: & l'on décrira ( Prop. 1, ) l'Hyperbole MBM, entre les asymptotes CT, & CH.

De’MONSTRATION.
Elle est évidente par la premiere Proposition,
PROPOSITION V.

Theorême.
F16.69.13. SOIT

une Hyperbole MBm dont CH & CT font les asymptotes ; soit aulli par un point quelconque B, menée ('no. 7.) une tangente HBT, & du point C par le point touchant B la ligne CBP. Si par quelque point P , l' on mene PM parallele à HT, qui rencontre l'Hyperbole aux points M&m, & les asymptotes en L & K. Je dis que

CP: CB”. PM':: CB:. BH”, ou ce qui revient au même , ayant prolongė B C en A, & fait CA = Св, que APx PB. PM? :: AB'. TH,

Ayant mené BI, BG, mQ &mN paralleles aux asymprotes, & nommé les données AC, ou C B, a ; BH, ou BT ,b; CI, ou GB, C; CG , ou IB, d; & les indétermi. nées CP, X; P M , ou Pm, y; CQ, ou Nm,S; CN ou em , K; AP sera x +a , & BP, x-a.

Il faut prouver que xx — aa.yy :: aa. bb:: 4aa. 466.

b*

DEMONSTRATION. LEs triangles semblables CBT, CPK donnent CB (a). BT (6) :: CP (*). PK= bx; donc mK = - Y, mL = bx + y; & à cause des triangles semblables TBI, KmQ, & BHG, MIN, l'on a b(TB).d (BI) :: boy(Km). 2( mQ), & 6 (BH).(BG) :: by + y (mL).S (MN), d'où l'on tire ces deux équa. tions bz= bdx - dy, & bf=bx + cy, & en multipliant le premier membre de l’une par le premier de l'autre, & le second par le second, l'on a bbs<= par la premiere Proposition (v=cd; donc bb yy, en divisant par les quantitez égales [2, & cd; d'où

aayy l'on tire xx-a4= donc xx aa. yy :: aa. bb ::

bb 4aa. 466. c. Q.F. D.

bbcdxx

- cdyy : mais

aa

bbxx

aa

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aayy

bb

CO'ROLL AIRE I. 14. Il est évident (Art. 9. no. 7, 11 & 12), & par cette équation xx — aa = qui est la même que celle du même Article no. 11, que le point C, est le centre de l'Hyperbole M BM, que A B est l'axe; fi l'angle CBHF16.70. est droit ; autrement A B eft nommée diametre déterminé; que D E parallele & égale à HT est l'axe , ou le diametre conjugué à AB, que MP & MF sont les ordonnées ou appliquées aux diametres conjuguez A B & DE. De sorte que FP est le parallelogramme des coordonnées.

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