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COROLLAIRE II.

FIG. 70. 15. L'ÉQUATION précedente xx — aa —

x =

aayy donne

66

± √bb + yy, qui fait voir que fi l'on prolon= ge MF en N; en forte que FNF M, le point N fera à l'Hyperbole ; & fi l'on fait yo, la ligne M N se confondra avec la ligne AB, le point F avec le point C, & l'on aura x = +a, d'où il fuit que le point M se confond avec le point B, & le point N avec A ; de forte que CA=CB, & que le point A fera à l'Hyperbole.

Si dans la même équation on fait x=o, ayant mené NQ parallele à DE, ou à PM, les points P & Q fe confondront avec le point C, & l'on aura y = √—bb. Or parceque les valeurs de y font imaginaires; il fuit que l'Hyperbole ne rencontre point le diametre DE, ni de côté ni d'autre du point C. Et parceque l'on tire auffi de la même équation y = + √xx aa; il fuit que l'Hyperbole rencontre les paralleles MPm, NQn des deux côtez de AB, tant que x ( CP, ou CQ) surpasse a ( C B ou CA); qu'elle coupe AB en B & A, lorfque CP = CB, ou x = a : car xx aa devient aa — aa = 0 ; & par conféquent y =+ 1⁄2 √xx — aa=0; & que lorsque les points P&Q tombent entre A & B, c'est-à-dire, lorf que a furpaffex, l'Hyperbole ne rencontre point les paralleles à DE menées entre A & B : car la quantité xx aa devient negative, & par conféquent les valeurs de = + 1/ √xx — aa deviennent imaginaires. Enfin l'équation xx — aa= fait voir que x (CP, ou CQ)

-

aayy

> bb

y

croiffant, y (PM, ou QN) croît auffi; c'eft pourquoi l'Hyperbole s'éloigne de plus en plus à l'infini du diametre AB prolonge de part & d'autre à l'infini: car il n'y a rien dans l'équation qui empêche d'augmenter x à l'infini, d'où l'on voit que l'Hyperbole a deux parties MBm

& NAn oppofees l'une à l'autre, qui ne fe rencontrent point & s'étendent à l'infini. Ce font ces deux parties de Î'Hyperbole que l'on appelle Hyperboles oppofées.

COROLLAIRE III.

16. IL eft clair que les Hyperboles oppofées font égales & femblables; puifque les coordonnées NF, NO de l'une font égales aux coordonnées MF, MP de l'autre.

COROLLAIRE. IV.

17. IL est aussi manifefte que les Afymptotes CH, CT de l'Hyperbole MBm, étant prolongées vers g, & vers k, font auffi les Afymptotes de l'Hyperbole oppofée NAn; puifque Nk & ng, font toujours égales à mK & ML.

COROLLAIRE V.

par le

18. Il est encore évident que la ligne hAt menée point A parallele à DE, où HT; & qui rencontre les Afymptotes en h&t, est égale à HT, ou à DE, & qu'elle touche l'Hyperbole ŇAn en A; puisqu'elle eft divifée en deux également en A, comme HT l'eft en B; & que CACB.

COROLLAIRE V I.

bx

bx

19. L'ON a ( no. 12. ) ML = b—y, & MK ==+y;

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20.

aayy

COROLLAIRE VII.

L'ON tire de l'équation à l'Hyperbole xx — aa —

aayy

cette autre équation aa—xx—

bb

bb

ay b

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gles femblables HBC, CFG donnent HB (b). BC (a)

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21. SI l'on décrit ( Prop. 1.) dans les angles HCt, TCh par les extrêmitez D & E du diametre DE conjugué au diametre AB, les Hyperboles oppofées RDS, rEf, ces Hyperboles feront nommées conjuguées aux Hyperboles oppofées MBm, NAn.

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22. IL eft clair que les lignes Ht, Th pafferont par les points D & E, & qu'elles toucheront en ces points les Hyperboles RDS, Ef, puifqu'elles y font divifées par le milieu, comme AB, à qui elles font paralleles & égales,

l'eft en C.

23.

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D'où il fuit que DE & AB font les axes conjuguez des Hyperboles RDS, rEf, fi DE eft perpendiculaire à AB; autrement, elles en font deux diametres conju guez.

24.

AVERTISSEMENT.

I L n'est point necessaire de démontrer que les Hyperboles RDS, rEf, ont les mêmes proprietez que les Hyperboles MBm, NAn; puifque ce ne feroit qu'une répétition inutile.

DEFINITION.

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égale à p, eft appellée le parametre du diametre AB.

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tire xx―aa. yy :: za.p, & fi l'on met en la place de

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ajoutera à ce Corollaire ce qu'on a dit (Art. 12. n°. 9. 10. 11. & 12.)

27.

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SI l'on avoit nommé (no. 12.) BP, x; AP auroit été za+x, & l'on auroit trouvé cette équation 2ax + xx aayy qui montre que lorfque les indéterminées n'ont

bb

point leur origine au centre de l'Hyperbole, il fe trouve des feconds termes dans fon équation.

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aayy

28. SI dans l'équation à l'Hyperbole xx-aa = →→

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aayy
bb

>

bb.

ou

a eft b, ces deux équations de

viendroient les deux fuivantes xx -4a=yy, & zax➡ R

FIG. 70.

xxyy, c'est-à-dire, qu'alors AP × PB = PM2; les diametres conjuguez AB, DE feront égaux; (no. 9.) les afymptotes à angles droits ; & tous les diametres égaux à leurs parametres,

L'on remarquera que ces deux équations à l'Hyperbole ne different de celle du cercle, & les deux premieres de celle de l'Ellipfe, qu'en ce que les deux quarrez inconnus, ont un même figne lorfque l'un eft dans un membre de l'équation, & l'autre dans l'autre, ou differens fignes, lorfqu'ils font tous deux dans un même membre, & c'est le contraire dans celle du cercle, & de l'Ellipfe, comme on a remarqué (Art. 12, no. 13. ) ; d'où l'on conclura qu'une équation locale appartiendra toujours à l'Hyperbole, quelque mêlange de conftantes qu'il s'y puiffe rencontrer, lorfque les quarrez des deux lettres indéterminées auront un même figne, l'un étant dans un membre de l'équation & l'autre dans l'autre, ou des fignes differens, étant tous deux dans le même membre; & fouvent même lorfque les indéterminées s'y trouveront multipliées l'une par l'autre. Je dis fouvent: car il y a des exceptions à faire qu'on trouvera dans la fuite.

DEFINITION.

29. L'HYPERE

YPERBOLE qui a fes afymptotes à angles droits, ou ( no. 9.) ce qui revient au même, dont les diametres font égaux entr'eux & à leurs parametres, eft appellée Hyperbole équilatere ; parceque l'axe d'une Section conique eft appellé par Apollonius, latus tranfverfum, & fon parametre, latus rectum.

30.

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UN E'équation à l' Hyperbole xx + cc— dd

étant donnée, décrire Hyperbole.

myy

n

Soit C l'origine des inconnues x qui va vers P, & y qui va vers F, & qui font un angle quelconque FCPle

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