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Mais il faut remarquer qu'il se rencontre souvent dans une équation des termes complexes, ou composez de plusieurs quantitez Algebriques, jointes ensemble par + ou par –

qui sont ceux où l'inconnue se trouve élevée à la même puissance , ou bien ceux où elle ne se trouve point du tout. Par exemple, ces quantitez axx — bxx+

ou abb-bcc+d', ne doivent être regardées que comme un seul terme.

On écrit ordinairement le premier terme d'une équation seul dans le premier membre , & tous les autres dans le second , selon leur ordre; ou bien on les égale tous à

en les écrivant tous dans le premier membre de l'équation, selon leur ordre ; & en écrivant o seul dans le deuxiéme, en observant que le premier soit toujours fimple, & délivré de toute quantité connue, comme on voiç dans l'équation suivante.

x + 6xx abx to a'.
— +

Cxx + bcx aab=0.

zero,

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+dxx

+ bcc.

DES EQUATIONS INDETERMIN E'E s. 111. Les équations où il se rencontre deux lettres inconnues, qu'on appelle aussi équations locales , fervent à construire les Problêmes indéterminez, comme celles où il ne s'en rencontre qu'une, servent à construire les Problêmes déterminez. Mais parceque tant qu'il y a dans une équation deux lettres inconnues, en les regardant comme telles, on ne peut connoître ni l'une ni l'autre c'est

pour cela qu'on est obligé d'assigner à l'une des deux, une valeur arbitraire ; & la regardant ensuite commé donnée, on pourra connoître la valeur de l'autre,

Et comme on peut assigner à la même inconnue une infinité de valeurs l’une après l'autre, l'autre inconnue en pourra aussi avoir une infinité. Mais en donnant ainsi differentes valeurs à une des inconnues d'une équation,

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on doir, à chaque fois, regarder cette équation comme une équation déterminée ; & par consequent lui attribuer tout ce qu'on a dit dans l’Article precedent des équations déterminées. En effet, résoudre, ou plutôt construire un Problême indéterminé, c'est construire une infinité de fois un Problême déterminé.

R E MARRU E. 1. Les valeurs arbitraires que l'on afligne à une des lettres inconnues d'une équation indéterminée, doivent souvent être limitées , & être renfermées dans certaines bornes. Eç si elles excedent ces bornes, les valeurs de l'autre inconnue, seront ou negatives ou imaginaires. Par exemple, dans cette équation x=b-y, toutes les valeurs arbitraires que

l'on peut donner à l'inconnue y ne doivent point exceder la grandeur donnée b, autrement celles de x seroient negatives ; ce qui est évident. Si l'on fait y=0, l'on aura x=b; & si l'on fait y=b, l'on aura x=0; car l'équation deviendra x=b-b=0. Dans cette équation xx = a1 — yy, les valeurs arbitraires

que

l'on ner à l'inconnue ne doivent point exceder la grandeur donnée a: car autrement les valeurs de x seroient imaginaires, puisque tout le second membre de l'équation seroit negatif. si l'on fait y=a, l'on aura xx=aa-au=o , & li l'on faisoit y=, l'on auroit xx=aa; donc'x=ta. Mais dans cette équation ax=by, on peut donner telle valeur que l'on voudra à l'inconnue y:car x aura toujours une valeur positive, à moins que l'on ne false y=0, au, quel cas l'on aura ax=0, ou x=

peut don

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0.

2.

THE ORE M E. Si

I l'on alligne à une des inconnues d'une équation indéterminée du premier degré, elles ne sont multipliées ni pan elles - mėmes, ni entrelles, tant de valeurs arbitraires qu'on voudra. fe dis que tous les points qui détermineront les valeurs correspondantes de l'autre inconnue, feront dans une ligne droite,

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DEMONSTRATION.
Soit

IT l'équation ay=bx, en la réduisant en Analogie
l'on a a. b: x. y; soit presentement une ligne droite ,

dont le point A soit fixe; & ayant pris sur AH l'interF1 G. 3. vale AB égal à la ligne donnée a, mené par le point B,

la ligne BC égale à la ligne donnée b, qui fasse avec AH
tel angle qu'on voudra, & mené par A &C, la droite
AG indéfiniment prolongée. Il est clair qu'ayant pris sur
AH un point quelconque D, mené D E parallele à BC;
& nommé AD, *; & DE, y; l'on aura'toujours a. 6::
x. y, en quelque endroit de la ligne AH que l'on prenne
le point D, ou ce qui est la même chose, quelque gran-
deur arbitraire que l'on assigne à l'inconnue x, celle de

g
sera toujours déterminée par la ligne AG. De sorte que
ligne AG est le lieu qui renferme tous les points qui satis-
feront au Problême, qui doit être resolu par l'équation
proposée ay=bx. C. & F. D.

la

COROLLAIRE I.
3. Si l'équation proposée étoit déterminée, comme ay
=bc, ce feroit toujours la même chose, excepte que la

lettre c qui tient la place de x, est constante; ainsi ayant F16. 3. pris sur AH, AD=1, & mené DE parallele à BC; DE

sera la valeur de y; mais en ce cas de tous les points de
la ligne AG, il n'y a que le seul point E qui résout le
Problême, puisqué ĀD=c ne peut avoir differentes
valeurs.
COROLLAIRE

II.
D'où l'on voit que les équations déterminées, &
4.
indéterminées du premier degré, sont de même genre ;
puisqu'elles se construisent par les mêmes lignes, & de la
même maniere.

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COROLLA IRE III. Si dans l'équation precedente ay =bx, a étoit égale á b, elle deviendroit y=x ; & il n'y auroit alors qu'à faire BC=AB ; & aflignant à x la valeur arbitraire A D; Fig. 3. DE (y) parallele à BC, seroit égale à AD=x.

COROLL AIRE IV. 6. Il est évident que dans toutes les équations indéterminées du premier degré, les inconnues ont entre elles un raport constant, c'est-à-dire, qu'elles sont l'une à l'autre comme une ligne donnée , à une ligne donnée, ou en raison d'égalité : comme dans l'équation precedente ay=bx, où x. y:: a. b, & dans celle-ci y=x,

=*, ou x.y:: 1. I. COROLLA I RË V. 7. ON voit aussi que dans les équations indéterminées du premier degré, une des inconnues croissant ou dimi. nuant, l'autre croît aussi ou diminue ; qu'elles peuvent toutes deux augmenter ou diminuer à l'infini , en gardant toujours entre elles le même raport.

THEOREME. 8. S1 dans une équation indéterminée qui n'est point du

premier degré, & ou par consequent les deux lettres inconnues font multipliées ou par elles-mêmes, ou entre elles, de quelque maniere que ce puisse étre, l'on alligne à l'une des deux tant de valeurs arbitraires qu'on voudra. Je dis que tous les points qui détermineront les valeurs correspondantes de l'autre , seront dans une ligne courbe.

DE MONSTRATION Dans les équations à la ligne droite, les inconnues gardent toựjours (no. 6.) entre elles un raport constant. Or lorsque dans une équation, les deux lettres inconnues font multipliées ou par elles-mêmes, ou entre elles, ou

de l'une & de l'autre maniere tout ensemble ; elles ou les lignes qu'elles expriment , ne peuvent garder le même raport dans toutes les variations ou changemens de valeur qu'elles peuvent recevoir : car il faudroit pour cela, que l'une des deux fût dans un des membres de l'équation, & l'autre dans l'autre, toutes deux seules, ou accompagnées seulement de lettres connues. Mais par l'hypothele, ces deux lettres sont multipliées ou par ellesmêmes ou entre elles ; donc elles ne peuvent garder un raport constant dans tous les changemens de valeur qu'on leur peut assigner : c'est pourquoi, en' assignant tant de valeurs

que l'on voudra à l'une des deux, les valeurs relatives de l'autre ne peuvent être déterminées par une ligne droite. Il faut donc qu'elles le soient par une ligne courbe. C. l. F. D.

C'est ici la preuve generale, chaque équation en fournit de particulieres, en les comparant à l'équation à la li. gne droite, comme on va voir par l'exemple qui suit.

E x E M P L E. 9. Soit l'équation yy = aa —-xx, qui est du second degré; Il est clair, 1o. Que x croissant, y diminue: car le second membre de l'équation devient d'autant plus petit, que x devient grande. 2o. On ne peut pas augmenter * en sorte qu'elle fürpasse la ligne exprimée par a : car le second membre deviendroit negatif; & la valeur de y seroit par consequent imaginaire. 3°. Si l'on fait x=a, l'équation deviendra yy=aa-aa=0. Il est donc évident que cette équation ne se rapporte point à la ligne droite ; puisque ses qualitez sont toutes differentes de celles des équations du premier degré ; & partant qu'elle le rapporte à une ligne courbe. Pour déterminer & décrire cette courbe

par

le moyen de fon équation yy=aa ---- xx. Soit une ligne droite CH, donnée de position dont l'extrêmiré C soit fixe, & dont les parties CP soient nommées x ; soit une autre ligne CG perpendiculaire à CH, & dont les parties CQ soient nom

mées,

FIG. 4.

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