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point C sera aussi le centre de l'Hyperbole; puisqu'il n'y à point de second terme dans l'équation. En supposant 10. Que d surpasse c; soit ff=dd 1, & mettant dans l'équation en la place de ddcc sa valeur f, elle deviendra xx ff

Soit pris CB=f; CB sera (no. 13.) le demi diametre de l'hyperbole qu'il faut décrire. Soit fait m. n:: ff. aff; vaff sera (Art. 12. no. 12.) le demi diametre conjugué CD. Ayant mené par B la ligne HBT parallele à CD, & fait BH & BT chacune égale à vaifit ; =CD; l'on menera les lignes CHL, CT K du centre C par les points H & T qui seront ( no. 13.) les asymptotes, & l'on décrira l'Hyperbole ( Prop. 1. ) par le point B.

D E'M ONS IR A I ION. Elle est évidente

E est évidente par les Art. & no, que l'on vient de citer. 30. En supposant 20. Que c surpasse d, foit fait 88

dd, & mettant dans l'équation en la place de cc dd fa valeur 88, l'on aura **+88

mais

par. ceque cette équation n'exprime point dans l'état où elle est, la proprieté de l'hyperbole démontrée (no. 13. ) ou dans la prop. s: car xx + 88 n’est point égal à APR PB; il faut la changer en celle-ci

-=y

yy multipliant par 1,

& transposant, qui monle demi diametre exprimé par Vnga doit être pris sur CF exprimé par y. Ayant donc pris CD=V*53; & fait

885 g fera le demi diametre conjugué à CD; si l'on mene présentement par D la ligne +DH parallele à CB, & qu'on fasse D & DH chacune =$; les lignes menées du centre c par t & par H, feront les asymptotes; & l'on décrira Phyperbole par le point D.

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:

n

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ngs

en m

m

divisant par m,

tre que

ng8 n.m;

m

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DEMONSTRATION.
Elle est la même que la précédente.
PROPOSITION VII.

Theorême,
F16.71. 31. UNE Hyperbole BM , dont c eft le centre ; AB & DE

les deux axes, ou deux diametres conjuguez quelconques; & CH, CT, les asymptotes , étant donnée. Si l'on mene (no. 6.) par un point quelconque M autre que B la tangente E MF, qui rencontre les asymptotes en E & F. Je dis qu'elle rencontrera le diametre A B en un point L, qui fera situé entre le centre C, & l'extrêmité B du mėme diametrę AB; a quo CP. CB :: CB, CL.

Ayant mené par M les droites PMK parallele à DE, ou HT; MO, parallele à CB; MI, parallele à CH, &

par le point B , les droites BG, BN paralleles aux
asymptotes CT , CH, & nommé les données & constan-
tes CB, ou CA, a; CD, ou BH; ou BT ,b; BG,
CN,C; BN, ou CG, d; & les indéterminées CP, x;
PM,y; CI, ou ( no. 6.) IE, S; MI, 2, & CL, t.
Il faut prouver que x. a .a.t.

DEMONSTRATION.
Les

Es triangles semblables CBT, CPK donnent CB(a),
BT (6)::CP(x). PK=-; donc MK=
triangles semblables TBN, KMI, donnent b(TB): d
(BN):: -y (KM). (MI), d'où l'on tire & **
bdx - ady

Les triangles semblables BNC, MIO donnent . BN (d). NC (6):: MI (v). 19=* ; donc E0 =

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bx

- y. Les

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ba

ab

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cd

:

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z

zadz

det,

bdx

ab

EI +10=+*; & BN (dj. BC (a) :: MI (2). MO =. Enfin les triangles semblables EOM , ECL donnent [+(E0). " (OM):: 2/(EC).t(CZ), d'où l'on tire 2afz

mais (Prop. 1.)=ed, &/ c'est df+cz pourquoi en mettant ces valeurs de & de fz dans celle l'on aura t =

Or l'on vient de trouver dd + zz ady

; mettant donc cette valeur de 3, & celle de son quarré dans la précedente valeur de t, l'on aura

2aabbx - 2alny après les réduđions t=

; mais

aabb - bbxx-1abxy-davy (Prop. s. ) aayy=bbxx - aabb; c'est pourquoi en mettant cette valeur de aayy dans la derniere de t, l'on aura après les réductions, t=; d'où l'on tire x.a::a.t.C.Q.F.D.

COROLLA IRE I. 32. Il est clair qu'on peut par ce moyen, d'un point quelconque donné sur l’Hyperbole, mener une tangente sans le secours des asymptotes, en prenant CL troisiémę proportionnelle à CP& à CB.

COROLLAIRE I I. 33. SI de CP ( x ) l'on ôte CZ ), l'on aura PZ= pour l'expression de la soutangente PL.

COROLLAIRE III. 34 I de CB (a) l'on ôtę cz (*), l'on aura BZ ou si l'on suppose que CP (*) devienne infi

XX ad

%

ax

aa

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