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point C fera auffi le centre de l'Hyperbole, puifqu'il n'y à point de fecond terme dans l'équation. En fuppofant 1°. Que d furpaffe c; foit ffddcc, & mettant dans l'équation en la place de ddcc fa valeur ff, elle devien

dra xx -ff=

myy

n

m

.

Soit pris CB=f; CB fera (n°. 13.)

le demi diametre de l'hyperbole qu'il faut décrire. Soit fait m. n :: ff. "ff; √nff sera (Art. 12. n°. 12.) le demi diametre conjugué CD. Ayant mené par B la ligne HBT parallele à CD, & fait BH & BT chacune égale à √"ff; = CD; l'on menera les lignes CHL, CTK du centre. C par les points H & T qui feront (no. 13.) les afymptotes, & l'on décrira l'Hyperbole (Prop. 1. ) par le point B.

DEMONSTRATION.

m

ELLE eft évidente par les Art. & no. que l'on vient de

citer.

30. En fuppofant 20. Que e furpaffe d, foit fait gg - CC-nin dd, & mettant dans l'équation en la place de ce mais par

dd fa valeur gg, l'on aura xx+g8=

myy

n

:

ceque cette équation n'exprime point dans l'état où elle eft, la proprieté de l'hyperbole démontrée (no. 13. ) ou dans la Prop. 5: car xx+gg n'est point égal à AP ×

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PB; il faut la changer en celle-ci =yy

m

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multipliant par n, divifant par m, & tranfpofant, qui montre que le demi diametre exprimé par Vngs doit être pris fur CF exprimé par y. Ayant donc pris CD=√";

ngg

m

✓"s; & fait

n.m:: gg, g fera le demi diametre conjugué à CD; fi

m

l'on mene préfentement par D la ligne DH parallele à CB, & qu'on faffe tD & DH chacune=g; les lignes menées du centre C par t & par H, feront les afymptotes; & l'on décrira l'hyperbole par le point D.

DEMONSTRATION.

ELLE eft la même que la précédente.

PROPOSITION

Theorême,

B

VII.

FIG. 71. 31. UNE Hyperbole BM, dont C eft le centre; AB & DE les deux axes, ou deux diametres conjuguez quelconques; & CH, CT, les afymptotes, étant donnée. Si l'on mene (n°. 6. ) par un point quelconque M autre que В la tangente EMF, qui rencontre les afymptotes en E & F. Je dis qu'elle rencontrera le diametre AB en un point L, qui fera fitué entre le centre C, & l'extrémité В du même diametre AB; & que CP. CB:: CB. CL.

Ayant mené par M les droites PMK parallele à DE, ou HT; MO, parallele à CB; MI, parallèle à CH, & par le point B, les droites BG, BÑ paralleles aux afymptotes CT, CH, & nommé les données & conftantes CB, ou CA, a; CD, ou BH; ou BT, b; BG, CN, c; BN, BN, ou CG, d; & les indéterminées CP, x; PM,y; CI, ou (no. 6. ) IE, f; MI, z,& CL,t. Il faut prouver que x. a: a. t.

LES

DEMONSTRATION.

ου

s triangles semblables CBT, CPK donnent CB (a), b x ·BT (b) :: CP (x). PK= ። donc MK

b x

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-y. Les

triangles femblables TBN, KMI, donnent b (TB). d

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bx

a

—y (KM). 2 (MI), d'où l'on tire ༢. 1=

Les triangles femblables BNC, MIO donnent

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EI +10=f+

==

CZ

d

; & BN (d). BC (a) :: MI (2). MO

4. Enfin les triangles femblables EOM, ECL donnent f+(EO). (OM):: 2f(EC). t (CL), d'où l'on tire cd : mais (Prop. 1.) f1⁄2 = ed, & f: c'eft

zafz

df+cz

= -
z

pourquoi en mettant ces valeurs de f& de f1⁄2 dans celle

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de fon quarré dans la précedente valeur de t, l'on aura

après les réductions t =

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: mais

zaabbx-2a3 aabbbbxx-zabxy+aayy (Prop. 5.) aayy= =bbxx aabb; c'eft pourquoi en mettant cette valeur de aayy dans la derniere de t, l'on aura après les réductions, t = a, d'où l'on tire x. a:: a.t.C.Q.F.D.

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32. IL eft clair qu'on peut par ce moyen, d'un point quelconque donné fur l'Hyperbole, mener une tangente fans le fecours des afymptotes, en prenant CL troifiéme proportionnelle à CP & à CB.

COROLLAIRE II,

33. SI de CP (x) l'on ôte CZ (#), l'on aura PL=

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aa

34.

ax

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pour l'expreffion de la foutangente PL.

COROLLAIRE III,

SI de CB (a) l'on ôte CZ (), l'on aura BL

aa

ou fi l'on suppose que CP (x) devienne infi.

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