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niment grande , le point touchant M sera infiniment éloigné de B; & effaçant le terme - aa dans l'expression de BL; parcequ'alors il devient nul par raport à ax, l'on aura BL=

a;

d'où il suit que le point L tombe en C, & la tangente L M devient C E qui est l'asymptote de l’Hyperbole.

1

PROPOSITION VIII.

Theorême. F16.72. 35.

UNE Hyperbole B M, dont c est le centre ; A B DE, les axes conjuguez, étant donnée ; si l'on fait CF & CG chacune égale à l'intervalle BD, ou BE, & que l'on mene d'un point quelconque M, pris sur l'Hyperbole , les droites MF, MG, & (no. 32. ) la tangente ML. Je dis que l'angle LMF sera égal à l'angle LMG.

Ayant mené l'appliquée M P perpendiculaire à l'axe AB, & nommé CB, ou CA, a; CD, ou CE, b; CF, ou CG, ou BD, C; MF, 2; MG, f; CP, *; PM,y; PF sera, * -C; PG,%+6; & CL (no. 31.)

donc FL

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. (***)

GL

Il faut prouver que MF (2). MG(S):: FL
(**) *- aa. cx + aa.

D E'M ONS I RA II O N.
s triangles rectangles FPM & GPM donnent
A. ** — 20x +- cc + yy=2, &
B. xx + 20+ 6+y=l : mais (Prop. 4.)

& le triangle rectangle BCD donne

bbxx

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C. yy =

CCXX

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+ , &

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bb =CCáa , mettant donc cette valeur de bb dans

aace to a l'équation C, l'on a yy=

& mettant cette valeur de yy dans les deux équations A, & B, l'on aura après les réductions & extractions de racines , cx— aa='az, & cx + aa = af; donc cx — aa. cx + aa:: az af:: 2: /.C. Q. F. D.

COROLLAIRE 36. D'où l'on voit que si l'un des points F, ou G étoit un point lumineux, les prolongemens des rayons réfléchis à la rencontre de l'Hyperbole se réuniroient à l'autre point G ou F.

D E'FINITIO N. 37. Les points F & G sont appellez les foyers de l'Hyperbole.

SECTION VIII.

XV.

l'on donne la méthode de résoudre les Problémes

indéterminez du premier a du second degré c'est-à-dire , de construire les équations à la ligne droite, y aux quatre courbes du premier genre, qui font le Cercle, la Parabole , l' Ellipse & l'Hy. perbole.

M É T H O D E. 'On a vû dans les Sections précédentes 10. Que L

les équations indéterminées, ou les lettres inconnues qui ne sont multipliées ni par elles-mêmes ni entr'elles, appartiennent à la ligne droite, & que lorfque ces équations n'ont que deux termes , comme celle-ci ay=bx, ou x=y; les inconnues x &y ont leur origine au point d'interse&tion de deux lignes droites, dont l'une renferme tous les points qui satisfont au Problême, & l'autre, tous les points d'où menant des lignes paralleles à quelque ligne donnée, & terminées par la premiere , la construction du Problême se trouve faite.

2°. Que lorsqu'une équation à la parabole n'a que deux termes, l'un desquels est le quarré de l'une des inconnues, & l'autre , le produit de l'autre inconnue par une quantité connue, comme ax=yy; les inconnues x, & y ont leur origine au sommet de l'axe, ou d'un diametre exprimé par x, & que lorsqu'elle a plus de deux termes, lorigine des inconnues n'est point au sommet d'un diame.

3o. Que lorsqu'une équation au cercle, ou à l’Ellipse, ou aux diametres de l'Hyperbole, n'a que trois termes , deux desquels renferment les quarrez des deux inconnues, & le troisième est entierement connu, comme aa – xx =

tre.

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x & y ont leur origine au centre de ces trois Courbes , & que lorsque ces équations ont des seconds termes, l'origine des inconnues n'est point au centre.

4o. Que lorsqu'une équation aux asymptores d'une Hyperbole n'a que deux termes dont l'un est le produit des deux indéterminées, & l'autre un Plan connu comme ху - ab , l'origine des inconnues x & y est au sommet de l'angle des asymptotes , & que lorsque cette équation à plus de deux termes , l'origine des inconnues est ailleurs ; où l'on remarquera que les quantitez constantes, quelque composées qu'elles se puissent rencontrer, ne changent rien de ce que nous venons de dire ; puisque l'on peut toujours mettre en leur place des valeurs simples : par

at -6° exemple cette équation xx=yy, est une équation au cercle dont le centre est l'origine des indéterminées : car on peut trouver (Art. 5.) une quantité simple dd = į de sorte que mettant dd dans l'équation précé.

24 - 64 dente en la place de elle deviendra dd

Eyy: Il en est ainsi des autres.

Nous avons donné dans les Se&ions précédentes la maniere de construire, les équations indéterminées du second degré, c'est-à-dire, de décrire les quatre courbes du premier genre par le moyen de leurs équations: mais ces équations étoient dans l'état où nous les venons de proposer ; c'est-à-dire que l'équation à la ligne droite, à la parabole, & aux asymptotes de l'Hyperbole, n'avoit que deux termes ; l'équation au cercle, à l’Ellipse, & aux diametres de l'Hyperbole, n'avoit que trois tera mes parmi lesquels il n'y en avoit point de second: mais lorsqu'on résout un Problême , les équations où l'on arrive ne sont pas toujours, ou plûtôt, sont rarement dans

S

at 64

XX

CC

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que le

cet état. Ce qu'il y a de constant, c'est que lorsque les lettres indéterminées n'auront pas plus de deux dimensions , soit qu'elles soient multipliées par elles-mêmes, ou entr'elles, les équations appartiendront toujours à une des quatre Courbes du premier genre. Il est même trèssouvent facile de reconnoitre par la seule inspection d'une équation à laquelle des quatre elle appartient, par ce que l'on a dir ailleurs, & il n'y a qu'un Cas où l'on puisse se méprendre, qui est lorsqu'une équation renferme deux quarrez inconnus, & que le produit des deux lettres inconnues se rencontre encore dans quelqu'un de ses termes : car ces équations appartiennent souvent à l'hyperbole, & quelquefois au cercle , ou à la parabole, ou à l'Ellipse: mais lorsqu'il n'y a qu'un quarré inconnu , & produit des deux inconnues se trouve dans un autre terme l'équation appartiendra toujours à l'hyperbole, & il será libre de la réduire aux diámetres, ou aux asymptotes , comme on va bien-tôt voir.

Il suit de tout ceci que pour construire les équations qui ne sont point dans l'état des précédentes, c'est-d-dire, pour

décrire les Courbes ausquelles elles appartiennent ou il faut donner d'autres régles que celles des trois Se&ions précédentes, ou il faut donner des régles pour ramener ces équations à l'état où sont celles des mêmes Sections, afin de se servir des mêmes régles dont on s'y est servi pour décrire ces Courbes : mais comme il va paroître un Livre de Monsieur le Marquis de l'Hôpital

pour l'intelligence duquel celui-ci ne sera peut-être pas inutile ) dans lequel on trouvera des Méthodes de construire les équations indéterminées , telles qu'on les trouve en resolvant les Problêmes, on a jugé à propos de prendre le parti de ramener les équations indéterminées qui n'excedent point le deuxiéme degré, à l'érat de celles par le moyen desquelles nous avons décrit les Sections coniques dans les trois Sections précédentes. Les moyens dont on se sert pour changer d'état ces équations, sont nommées réductions.

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