niment grande, le point touchant M fera infiniment éloigné de B; & effaçant le terme - aa dans l'expreffion de BL; parcequ'alors il devient nul par raport à ax, l'on aura BL= a; d'où il fuit que le point Z tom

ax

be en C, & la tangente Z M devient CE qui est l'asymptote de l'Hyperbole.

PROPOSITION VIII.

Theorême.

FIG. 72. 35.UNE Hyperbole B M, dont C eft le centre ;

AB &

DE, les axes conjuguez, étant donnée ; fi l'on fait CF & CG chacune égale à l'intervalle BD,ou BE, & que l'on mene d'un point quelconque M, pris fur l' Hyperbole, les droites MF, MG, &(no. 32. ) la tangente ML. Je dis que l'angle LMF fera égal à l'angle LMĠ.

Ayant mené l'appliquée MP perpendiculaire à l'axe AB, & nommé CB, ou CA, a; CD, ou CE, b; CF, ou CG, ou BD, c; MF, Z; MG, f; CP, x; PM,J; PF fera, x-c; PG, x + c; c ; PG, x + c ; & CL (n°. 31.)

aa

aa

donc FL

сх

Il faut prouver que MF (2). MG (J) :: FL (—)

DEMONSTRATION.

LEs triangles rectangles FPM & GPM donnent

A. xx — 2cx + cc + yy =zz, &

:༢༢,

B. xx + 2cx + cc yy =ss: mais (Prop. 4. )

C.yy

bbxx aabb

& le triangle rectangle BCD donne

cc-aa, mettant donc cette valeur de bb dans

bb

сх

cette valeur de yy dans les deux équations A, & B, l'on aura après les réductions & extractions de racines, cx—. aa = az, & cx + aa = af; donc cx — aa. cx + aa :: az af:: L. f. C. Q. F. D.

COROLLA IR E

rayons

36. D'où l'on voit que fi l'un des points F, ou G étoit réfléchis un point lumineux, les prolongemens des à la rencontre de l'Hyperbole fe réuniroient à l'autre point G ou F.

DEFINITION.

37. Les points F & G font appellez les foyers de l'Hyper

bole.

Où l'on donne la méthode de réfoudre les Problêmes indéterminez du premier du fecond degré, c'est-à-dire, de conftruire les équations à la ligne droite, & aux quatre courbes du premier genre, qui font le Cercle, la Parabole, l'Ellipfe & l'Hy. perbole.

XV.

L

MÉTHODE.

'ON a vû dans les Sections précédentes 1o. Que les équations indéterminées, ou les lettres inconnues qui ne font multipliées ni par elles-mêmes ni entr'elles, appartiennent à la ligne droite, & que lorfque ces équations n'ont que deux termes, comme celle-ci ay = bx, ou x = y; les inconnues x & y ont leur origine au point d'interfection de deux lignes droites, dont l'une renferme tous les points qui fatisfont au Problême, & l'autre, tous les points d'our menant des lignes paralleles à quelque ligne donnée, & terminées par la premiere, la conftruction du Problême fe trouve faite.

2°. Que lorsqu'une équation à la parabole n'a que deux termes, l'un defquels eft le quarré de l'une des inconnues, & l'autre, le produit de l'autre inconnue par une quantité connue, comme ax=yy; les inconnues x, & y ont leur origine au fommet de l'axe, ou d'un diametre expri mé par x, & que lorfqu'elle a plus de deux termes, l'origine des inconnues n'eft point au fommet d'un diame

tre.

3°. Que lorsqu'une équation au cercle, ou à l'Ellipfe,, ou aux diametres de l'Hyperbole, n'a que trois termes, deux defquels renferment les quarrez des deux inconnues, & le troifiéme eft entierement connu, comme aa — xx —

yy

x & y ont leur origine au centre de ces trois Courbes, & que forfque ces équations ont des feconds termes, l'origine des inconnues n'eft point au centre.

=

&Y

4°. Que lorfqu'une équation aux afymptotes d'une Hyperbole n'a que deux termes dont l'un eft le produit des deux indéterminées, & l'autre un Plan connu comme xy ab, l'origine des inconnues x & y eft au fommet de l'angle des afymptotes, & que lorsque cette équation a plus de deux termes, l'origine des inconnues eft ailleurs; où l'on remarquera que les quantitez conftantes, quelque compofées qu'elles fe puiffent rencontrer, ne changent rien de ce que nous venons de dire; puifque l'on peut toujours mettre en leur place des valeurs fimples: par exemple cette équation xxyy, eft une équation

a+b+

--

сс

au cercle dont le centre est l'origine des indéterminées : car on peut trouver (Art. 5.) une quantité fimple dd —

=

de forte que mettant dd dans l'équation précé

Nous avons donné dans les Sections précédentes la maniere de conftruire les équations indéterminées du fecond degré, c'est-à-dire, de décrire les quatre courbes du premier genre par le moyen de leurs équations: mais ces équations étoient dans l'état où nous les venons de propofer; c'est-à-dire que l'équation à la ligne droite, à la parabole, & aux afymptotes de l'Hyperbole, n'avoit que deux termes; l'équation au cercle, à l'Ellipfe, & aux diametres de l'Hyperbole, n'avoit que trois ter mes parmi lesquels il n'y en avoit point de fecond: mais lorfqu'on réfout un Problême, les équations où l'on arrive ne font pas toujours, ou plûtôt, sont rarement dans

- S

1

cet état. Ce qu'il y a de conftant, c'eft que lorsque les lettres indéterminées n'auront pas plus de deux dimenfions, foit qu'elles foient multipliées par elles-mêmes, ou entr'elles, les équations appartiendront toujours à une des quatre Courbes du premier genre. Il est même trèsfouvent facile de reconnoitre par la feule inspection d'une équation à laquelle des quatre elle appartient, par ce que l'on a dit ailleurs, & il n'y a qu'un Cas où l'on puisse se méprendre, qui eft lorfqu'une équation renferme deux quarrez inconnus, & que le produit des deux lettres inconnues fe rencontre encore dans quelqu'un de fes termes : car ces équations appartiennent fouvent à l'hyperbole, & quelquefois au cercle, ou à la parabole, ou à l'Ellipse: mais lorsqu'il n'y a qu'un quarré inconnu, & que le pro. duit des deux inconnues fe trouve dans un autre terme, l'équation appartiendra toujours à l'hyperbole, & il fera libre de la réduire aux diametres, ou aux afymptotes, comme on va bien-tôt voir.

Il fuit de tout ceci que pour conftruire les équations qui ne font point dans l'état des précédentes, c'est-à-dire, pour décrire les Courbes aufquelles elles appartiennent, ou il faut donner d'autres régles que celles des trois Sections précédentes, ou il faut donner des régles pour ramener ces équations à l'état où font celles des mêmes Sections, afin de fe fervir des mêmes régles dont on s'y eft fervi pour décrire ces Courbes: mais comme il va paroître un Livre de Monfieur le Marquis de l'Hôpital pour l'intelligence duquel celui-ci ne fera peut-être pas inutile) dans lequel on trouvera des Méthodes de conftruire les équations indéterminées, telles qu'on les trouve en refolvant les Problêmes, on a jugé à propos de prendre le parti de ramener les équations indéterminées qui n'excedent point le deuxième degré, à l'état de celles par le moyen defquelles nous avons décrit les Sections coniques dans les trois Sections précédentes. Les moyens dont on fe fert pour changer d'état ces équations, font nommées réductions.