DES RÉDUCTIONS Des Equations indéterminées du premier & du fecond degré. 1. Il n'y a que deux chofes qui empêchent les équations indéterminées du fecond degré, d'être femblables, ou dans le même état de celles par le moyen defquelles nous avons décrit les Courbes aufquelles elles appartiennent dans les trois Sections précédentes. Ces deux chofes font les feconds termes, & les rectangles compofez; de forte que pour les réduire, il n'y a qu'à faire évanouir par les régles ordinaires les feconds termes, & changer les rectangles, ou produits compofez en des rectangles, ou des produits fimples. J'appelle rectangle compofé, le produit d'une lettre ou quantité connue, ou inconnue, par une lettre inconnue accompagnée par addition, ou fouftraction d'une autre lettre ou quantité connue fimple, ou compo fée. Par exemple ay +xy, eft un rectangle compofé de a±xxy ; aa±ay, eft un rectangle compofé a +yxa; aax±axy, est un rectangle compofé de aaayxx ; ay b b +by+xy,eft compofé de a±b±xxy. Il en eft ainfi des autres. 2. Il y a quelquefois quelque changement à faire pour rendre des quantitez complexes femblables aux rectangles compofez dont nous venons de parler. Par exemple aa -by, n'eft point le produit d'une quantité fimple par une quantité complexe : car pour cela, il faudroit qu'il y eut un 6 dans le premier terme aa; c'eft pourquoi il faut (Art. 5.) changer aa en un rectangle dont un côté soit b, comme en br, & mettant be en la place de aa, l'on aura bc - by =cy x b. Il en eft ainfi des autres. Il y a des équations, où il n'y a qu'à ôter les feconds termes pour les réduire : il y en a d'autres où il n'y a qu'à changer les produits compofez en des produits fimples, & il y en a d'autres où il y a toutes ces deux chofes à faire. Les exemples fuivans ne laifferont rien à éclaircir fur ce fujet. 3. EXEMPLES. De la réduction des Equations en faifant évanouir les ou ON fçait que la régle de faire évanouir le second terme d'une équation, eft d'égaler la racine du premier le coefficient du fecond divifé par l'expofant du premier à une nouvelle inconnue, ce qui donne une équation que j'appelle réduction; d'où l'on tire une valeur de l'inconnue qui eft la racine du premier terme de l'équation à réduire; & fubftituant cette valeur, & celle de fes puiffances dans l'équation à réduire, elle fe change en une autre équation, où l'inconnue dont on vouloit faire évanouir le fecond terme, ne fe trouve plus, mais il fe trouve en fa place la nouvelle inconnue de la réduction, dont le premier terme est élevé à la même puiffance que celui de l'inconnue que l'on a fait évanouir: mais qui n'en a point de fecond. Ceci eft général pour les équations de tous les degrez, quoiqu'il ne foit ici queftion que des équations du fecond. 4. EXEMPLE I. = SO IT l'équation xx — ax+yy axyy by. Il eft clair que cette équation appartient au cercle, puifqu'elle renferme deux quarrez inconnus xx &yy qui ont le même figne + étant tous deux dans un même membre de l'équation: mais les inconnues n'ont point leur origine au centre: car les deux quarrez inconnus xx & yy ont chacun un second terme ax & by. Pour faire évanouir le fecond terme je fais X- - a=z; donc x=z+÷a,& mettant cette valeur de x, & celle de fon quarré dans l'équation, elle deviendra zz — 1⁄2 aa + yy = by, où un ༢༢. eft un premier terme qui n'en a point de fecond. Pour faire د ax évanouir le fecond terme by, je le paffe du côté de fon afin que yy garde fon figne +; ainfi l'équation premier yy, 4 =0; & faifant y — b l'on a y = a + b; & mettant cette valeur de & de yy, = y = ༠, ༠u ༢༢. & celle de fon quarré dans l'équation en la place de yy, l'on aura z— — aa + uu bb aa + 1 bb uu, qui montreroit que cette équation appartient au cercle fi on ne l'avoit pas connu d'abord, & qui montre que les inconnues & u ont leur origine au centre; puifque ni l'une, ni l'autre n'ont point de fecond terme. Le demi diametre de ce cercle est égal à √ ¦ aa + 1 bb. 5. EXEMPLE ̊ I I. SOIT une équation xx + bx 2ax yyo. On voit déja que cette équation est à une Hyperbole équilatere; puifqu'elle renferme deux quarrez inconnus avec differens fignes dans un même membre, & délivrez de toute quantité connue; en faifant x + I b ¢=༢, l'on aura x = · 2— 1⁄2 b+a, & après les substitutions l'on aura ༢༢ · bb + ab + ab aa = ༠, 0u ༢༢ — Ł ྂ -aayy: mais fib surpasse a il faudra tranfpofer le terme connu car en ce cas il eft pofitif, & dans l'équation à l'Hyperbole il doit être négatif, ainfi l'équation fera où les inconnues zz=yy+bb& y ont leur origine au centre de l'Hyperbole, dont les demi diametres conjuguez font égaux entr'eux & à 1 b — a, ou a — 1 b. · ab +aa, EXEMPLE III. 6. SOIT xx-2xy + by=o, qui eft une équation où il y a un fecond terme 2xy qui peut appartenir indifferemment aux deux premiers: mais parceque le quarré de y ne s'y trouve point, il faut nécessairement le rapporter à xx; = faifant donc xyz, l'équation se réduira à zz-— YJ + by: o mais la réduction a fait naître un premier terme yy qui a pour fecond by; c'eft pourquoi en tranfpodonner à pour le figne+, l'on a z=yy yy yy — by, & faifanty - b =u; l'équation se réduira à zz = uu — bb, qui est une équation à l'Hyperbole équilatere, où les inconnues & u ont leur origine au centre. fant 7. EXEMPLE IV. ༢༢ SOIT xx-2xy - aa 2yy=0, en faisant x—y , l'équation fe réduit à celle-ci zz-yy ༢༢.-༡༡ aa +2yy =0, ou zaa + yy = 0, qui eft une équation au ༠, cercle, files inconnues &y font un angle droit, à l'Ellipse, s'il eft oblique. au Si dans l'équation à réduire xx -- 2xy aa+2yy? lieu de yy, il y avoit―yy, ou 2yy, elle appartiendroit à l'Hyperbole dont les diametres ne font point égaux; s'il y avoit +3yy ou+4yy &c, elle appartiendroit à l'Ellipfe, & fi au lieu de 2yy, il y avoit+by+yy, elle appartiendroit à la parabole. EXEMPLES. Des réductions en changeant les produits compofez en ON réduit en changeant les produits compofez en des produits fimples, toutes les équations où il n'y a point de quarrez inconnus, qui font celles qui appartiennent à la ligne droite, ou aux afymptotes de l'Hyperbole, celles où il n'y a qu'un quarré inconnu fans le produit des inconnues, qui appartiennent toutes à la parabole; & celles où il n'y a qu'un quarré inconnu avec un produit des deux inconnues, qui appartiennent toutes à l'Hyperbole. On pourroit auffi réduire ces dernieres, en faisant évanouir le fecond terme, comme on a fait (no. 6.) auquel cas elles appartiendroient aux diametres de l'Hyperbole : mais en les réduifant en changeant les rectangles compofez en de fimples, elles fe rapporteront aux afymptotes. Toutes ces équations ne feront point entiérement réduites par cette feconde maniere de réduction, que lorfqu'elles ne renfermeront que deux termes. EXEMPLE V. 8. SOIT l'équation, x+y=a, ou x = a -y, en fai fant a-y=z, l'on aura x = qui est un lieu à la ligne droite. Si l'on fait x+y=z, l'on aura = a, qui eft auffi un lieu à la ligne droite: mais les deux inconnues d'une équation ne fe doivent pas trouver dans une réduction quand on peut faire autrement. = Soit l'équation x-y—a—c, ou x = a faifant ac+y=2, l'on aura x =z. ¢+༡=༢ EXEMPLE V I. c+y: en 9. SOIT l'équation ax — by = aa, ou ax = aa+by, ou ax = bc + by, en mettant be pour aa, ayant fait c+y =༢, l'on aura ax = b2, qui est un lieu à la ligne droite. EXEMPLE VII. = 10. SOIT I т l'équation ax —xy — by, en faisant a -y =2, l'on ay & mettant cette valeur de y dans l'équation à réduire, l'on aura xz = = ab =a ༢; - bz qui a encore trois termes; c'eft pourquoi, en tranfpofant, l'on a xz+bz=ab: & faisant x + b = u, l'on a uz ab, qui est une équation aux afymptotes de l'Hyperbole. EXEMPLE VII I. = = 11.SOIT abx bey+axy; parceque dans les équations où il n'y a point de quarré inconnu, c'est le produit des deux inconnues qui en détermine le degré, il faut, avant que de les réduire, délivrer ce produit de toute quantité connue; c'eft pourquoi en divifant toute l'équation par a, l'on aura bx & faifant bey + xy, |