DES RÉDUCTIONS Des Equations indéterminées du premier & du second degré. 1. Il n'y a que deux choses qui empêchent les équations indéterminées du second degré, d'être semblables, ou dans le même état de celles par le moyen desquelles nous avons décrit les Courbes ausquelles elles appartiennent dans les trois Sections précédentes. Ces deux choses font les seconds termes, & les rectangles composez; de sorte que pour les réduire, il n'y a qu'à faire évanouir par les régles ordinaires les seconds termes , & changer les rectangles , ou produits composez en des rectangles, ou des produits simples.

J'appelle rectangle composé, le produit d'une lettre ou quantité connue ou inconnue , par une lettre inconnue accompagnée par addition, ou soustraction d'une autre lettre ou quantité connue simple, ou composée. Par exemple ay + xy, est un rectangle composé de atx x y; aa + ay, est un rectangle composé a +yxa; aax axy, est un rectangle composé de

b +by + xy, est composé de a+6+xxy. Il en est ainsi de's

aat ay xxjay

b

autres.

2. Il y a quelquefois quelque changement à faire pour rendre des quantitez complexes semblables aux rectangles composez dont nous venons de parler. Par exemple aa

- by, n'est point le produit d'une quantité simple par une quantité complexe : car pour cela, il faudroit qu'il y eut un b dans le premier terme aa; c'est pourquoi il faut (Art. 5. ) changer aa en un rectangle dont un côté soit b, comme en bc, & mettant bc en la place de l'on aura bc - by=(- yxb. Il en est ainli des autres. Il

y a des équations, où il n'y a qu'à ôter les seconds termes pour

les réduire : il y en a d'autres où il n'y a qu'à changer les produits composez en des produits simples,

ad,

1

& il y en a d'autres où il y a toutes ces deux choses à
faire. Les exemples suivans ne laisseront rien à éclaircir sur
ce sujet.

E X E M P L E S.
De la rédułtion des Equations en faisant évanouir les

seconds termes.
ON sçait que la régle de faire évanouir le second
terme d'une équation, elt d'égaler la racine du premier
+ ou - le coefficient du second divisé par l'exposant du
premier à une nouvelle inconnue, ce qui donne une équa-
tion que j'appelle réduftion ; d'où l'on tire une valeur de
l'inconnue qui est la racine du premier terme de l'équa-
tion à réduire ; & substituant cette valeur , & celle de
ses puissances dans l'équation à réduire, elle se change en
une autre équation, où l'inconnue dont on vouloit faire .
évanouir le second terme, ne se trouve plus, mais il se
trouve en sa place la nouvelle inconnue de la réduction,
dont le premier terme est élevé à la même puissance que
celui de l'inconnue que l'on a fait évanouir: mais qui n'en
a point de second. Ceci est général pour les équations de
tous les degrez, quoiqu'il ne soit ici question que des
équations du second.

E x E M P L E I. 4. SOIT

I t l'équation xx — ax +yy = by. Il est clair que cette équation appartient au cercle , puisqu'elle renferme deux quarrez inconnus xx & yy qui ont le même signe + étant tous deux dans un même membre de l'équation: mais les inconnues n'ont point leur origine au centre: car les deux quarrez inconnus xx & yy ont chacun un second terme ax & by. Pour faire évanouir le second terme

- į

a=; doncx=x+ļa, & mettant cette valeur de x, & celle de son quarré dans l'équation, elle deviendra za aa + yy=by, où

27 est un premier terme qui n'en a point de second. Pour faire

- ax

fais x

у

у

ày

évanouir le second terme by , je le passe du côté de son premier yy,

afin
que yy garde son signe +;

ainsi l'équation devient 23-aa + yy — by=0; & faisant y 16 =u, l'on a y = 8 + {b; & mettant cette valeur de & celle de son quarré dans l'équation en la place de & de yy , l'on aura 2 - aa + uu —

Abb=0, ou = 4 aa + i bb uu, qui montreroit que cette équation appartient au cercle si on ne l'avoit pas connu d’abord, & qui montre que les inconnues 2 & u ont leur origine au centre ; puisque ni l'une, ni l'autre n'ont point de second terme. Le demi diametre de ce cercle est égal ; aa + 466.

E x EM PLEI I. 5. Soit une équation xx + bx

2ax — yy=o. On voit déja que cette équation est à une Hyperbole équilatere ; puisqu'elle renferme deux quarrez inconnus avec differens signes dans un même membre, & délivrez de toute quantité connue ; en faisant x + { b - a=

a=2, l'on aura x=-{b+a, & après les substitutions l'on aura ༢༨

& bb + ab - aa – yy = 0, ou zz-bb — aa =yy: mais si į b surpasse a il faudra tranfposer le terme connu : car en ce cas il est positif, & dans l'équation à l’Hyperbole il doit être négatif; ainsi l'équation sera za=yy + $bb — ab + aa, où les inconnues z & y ont leur origine au centre de l'Hyperbole, dont les demi diametres conjuguez sont égaux entr'eux & à I b-a, ou a — į b.

E x E M P L E III.

2 xy + by=0, qui est une équation où il y a un second terme 2xy qui peut appartenir indifferemment aux deux premiers: mais parceque le quarré de y ne s'y trouve point, il faut nécessairement le rapporter à xx;

+ ab

6. Soit

IT xx

7. SO II xa

-yy, ou

faisant donc x - y = 3, l'équation se réduira à 2 99
+ by =o: mais la réduction a fait naître un premier
terme yy qui a pour second by ; c'est pourquoi en transpo-
sant
pour
donner à

уу

le signe +, l'on a k=yy — by , & faisant y-b =u; l'équation se réduira à zz=uu — į bb, qui est une équation à l'Hyperbole équilatere, où les inconnues z& u ont leur origine au centre.

E x E M P L E IV.

** — 2xy — aa 4 2yy=0, en faisant x - y =x, l'équation se réduit à celle-ci 22-yy — aa + 2yy =o, ou 2x — aa + yy =o, qui est une équation au cercle, files inconnues z&y font un angle droit ; à l’Ellipse, s'il est oblique.

Si dans l’équation à réduire xx — 2xy — aa + 2yy, au lieu.de 2yy, il y avoit

2yy er, elle appartiendroit à l'Hyperbole dont les diametres ne sont point égaux ; s'il y avoit + 3yy ou + 4yy&r, elle appartiendroit à l'Ellipfe ; & si au lieu de 2yy, il y avoit + by + yy, elle appartiendroit à la parabole.

EXE M P L E S.
Des réductions en changeant les produits composez en

produits simples.
ON réduit en changeant les produits composez en des
produits simples, toutes les équations où il n'y a point de
quarrez inconnus, qui sont celles qui appartiennent à la
ligne droite , ou aux asymptotes de l'Hyperbole ; celles
où il n'y a qu'un quarré inconnu sans le produit des in-
connues, qui appartiennent toutes à la parabole ; & celles
où il n'y a qu'un quarré inconnu avec un produit des deux
inconnues, qui appartiennent toutes à l'Hyperbole. On
pourroit aussi réduire ces dernieres, en faisant évanouir le
second terme, comme on a fait (no. 6. ) auquel cas elles
appartiendroient aux diametres de l'Hyperbole : mais en
les réduisant en changeant les rectangles composez en de

simples, elles se rapporteront aux asymptotes. Toutes ces équations ne seront point entièrement réduites

par cette seconde maniere de réduction, que lorsqu'elles ne renfermeront que deux termes.

و

EX E M P L E V. 8. Soit l'équation , x+y=a, ou x=a—y, en faifant a-y=i, l'on aura x=2

qui est un lieu à la ligne droite. Si l'on fait x +y=r, l'on aura x=a, qui est aussi un lieu à la ligne droite: mais les deux inconnues d'une équation ne se doivent pas trouver dans une réduction quand on peut faire autrement.

Soit l'équation x-y=a (, ou x =26+y: en faisant a c+y=k, l'on aura x =

E x E M P L E V I. 9. Soit l'équation ax — — by =

=aa, ou ax = aa + by, ou ax=bc + by, en mettant bc pour aa , ayant fait c+y l'on aura ax =

= bą, qui est un lieu à la ligne droite.

EX E M P L E VII. 10. Soit l'équation ax

It l'équation ax — xy = by, en faisant a -4 =2, l'on a y

Fa- *; & mettant cette valeur de y dans l'équation à réduire , l'on aura x2 = ab — bz qui a encore trois termes; c'est pourquoi , en transposant, l'on a x2 + bx=ab: & faisant x +b=u, l'on a uz=ab, qui est une équation aux asymptotes de l'Hyperbole.

E x E M P L E VII I. 11. Soit abx

bey + axy; parceque dans les équations où il n'y a point de quarré inconnu, c'est le produit des deux inconnues qui en détermine le degré, il faut, avant que de les réduire, délivrer ce produit de toute quantité connue ; c'est pourquoi en divisant toute

bcy l'équation par a, l'on aura bx

+ xy, & faisant