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be

ibc +x=, l'on a x=

& mettant cette valeur

bbc

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bbc

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a

ble

12.

de x dans l'équation à réduire, l'on aura bz -
ou bz-zy= & faisant encore by=u, l'on aura

qui est un lieu aux asymptotes de l'Hyberbole.

EXE M P LE I X. Soit l'équation xx —-ax=by , pour faire évanouir le second terme, on fera x — a= =7, & l'on aura X 4 aa =by , ou X=4 aa + by , ou K=bc + by, en mettant bc pour aa ,

pour aa , & faisant encore c +y=u, 2 bu , qui est un lieu à la parabole dont le parametre est b. EXE M P L E

X. 13. So 11 l'équation xx + xy = ab. On peut réduire cette équation en faisant évanouir le second terme , & elle se rapportera aux diametres de l'Hyperbole : car faisant x+iy=2, l'on aura 23 – šyy = ab, ou 2ab=yy. Mais parceque'xx + xy=xxx+y, en faisant xy=x l'on aura zx=ab qui se rapporte aux asymptotes.

l'on aura

14. Soit

XX

EX E M P L E XI.

xy = by, on pourroit encore réduire cette équation en faisant évanouir les seconds termes, & elle se rapporteroit aux diametres de l'Hyperbole : mais on peut aussi la réduire aux asymptotes comme l'on

a fait la précédente: car en transposant , l'on a xx = by Voyez l'ar

& faisant x+b=2, l’on ax=-6, & mettant cette valeur de x dans l'équation à réduire, l'on aura za

- 2b2+ bb = zy, ou xy + 262 — 2=bb,& faisant y + 26 —2=u, l'on aura uz =bb, qui se rapporte aux asymptotes.

CONSTRUCTION

to xy ;

ticle 22. n°.9.

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CONSTRUCTION DES REDUCTIONS,

XVI. EN réduisant les équations indéterminées, l'on en forme d'autres plus simples, que nous avons nommées Réductions. Et comme c'est par le moyen de ces Rédudions que l'on construit les premieres, l'on a jugé à propos d'en donner ici la construction en particulier pour avoir plus de facilité à construire les autres.

Toutes les Réductions se peuvent rapporter à quelqu'une des six Formules suivantes, où a, b&c expriment des quantitez connues quelconques complexes, ou in, complexes. 1. x+a=2 4. x+1=2 2. 2 -*=2 5. x+y+b=a. 3. * £y=% 6. x+%+c=2

CONSTRUCTION

De la premiere Formule x + a=z. 1. Soit

T A le point fixe, ou l'origine des inconnues x,F16.73. qui va vers H, & y qui va vers G, & qui forment l'angle GAH tel qu'il doit être selon les qualitez du Problême, dont on suppose ici que l'on fait la construction. 10. Si la Réduction est x + a= 2, il est clair que la construction fe doit faire sur la ligne AH exprimée par x,& que pour avoir sur AH indéfiniment prolongée vers H une ligne égale à x, il faut prolonger AH du côté de A en c, en sorte que AC=a: car l'on aura alors CA + AH=a +x=2; & ainsi le point C sera alors l'origine, ou le commencement de z qui va vers H, & de y qui va versg, en demeurant toujours parallele à AG, de forte que s'il n'y avoit point de Réduction pour y , le point Ċ seroit l'origine des inconnues de l'équation réduite, dont celle que l'on vient de construire est une Réduction.

T

FIG.74

FIG. 73

2. Si la Réduction est x-a=h, l'on prendra le point C du côté de H par raport à A, & l'on fera AC=a; & le point C sera le commencement de « qui va toujours vers H, & de y qui va vers g parallele à AG; car alors AH - AC =CH=x-a=;& s'il n'y avoit point de réduction pour y, le point C seroit l'origine des inconnues de l'équation réduite.

3. Mais si dans l'un ou dans l'autre, ou dans tous les 74.deux Cas précédens, il y a une réduction pour y

sembla.. ble à la précédente, par exemple, y +6=ú l'on fera sur Cg ce que l'on vient de faire sur A H, c'est-à-dre, que s'il y a y+b=u, on prolongera Cg en 0 ; & s'il y a у ý - b=u, l'on retranchera Co de cg, en faisant co ou Co=b; & le point o, ou o sera l'origine des inconnues de l'équation réduite u qui ya toujours vers g, & z qui va vers M, ou m parallele à CH; de sorte

que

les nouvelles inconnues z&u font le même angle au point 0 , ou o que les premieres x & y au point A , qui est leur origine.

CONTRUCTION

De la seconde Formule a — X=Z. 4. L'on voit par la seule infpe&ion de cette Formule

que les deux inconnues x & z sont ensemble égales à la Fig. 75. grandeur a; c'est pourquoi A étant le commencement

de x qui va vers H , ayant pris sur AH l'intervalle AC =a, le point C sera le commencement de 2, qui en ce cas va vers A , & de y qui va vers g parallele à AG: car si l'on prend librement un point D sur AC; AD étant x, C D sera a - *=r;& le point D n'étant point fixe ne peut être l'origine de 3; c'est pourquoi puisque x a son origine au point A, 3 commencera nécessairement au point fixe C, & ira par conséquent vers A.

s. S'il y a encore une Réduction pour y semblable à une des deux premieres Formules, on la construira comme on a fait les précédentes.

/

CONSI RUCTION

De la troisiéme Formule x +y=Z. 6. Toutes les Réductions , où se trouvent les deux inconnues * & y de l'équation à réduire, viennent des équations où les mêmes inconnues sont multipliées l'une par l'autre dans quelque terme , & où l'une des deux, ou toutes les deux sont quarrées. Or pour ne point se trou. ver embarrassé dans la construction de la Réduction, la lettre inconnue de la Réduction qui est multipliée par l'autre inconnue dans l'équation à réduire, doit être con. struite la premiere; par exemple, si l'équation à réduire est xx — xy = ab; soit qu'on fasse x_{y=2, pour faire évanouir le second terme , soit qu'on fasse x-y=x pour changer le rectangle composé xx

xx - xy, en un simple x2, il faudra toujours construire y la premiere.

Supposons dans cette Formule que y étoit multipliée, par x dans l'équation à réduire; & soít A le point fixe où F16.76: commencent les inconnues x qui va vers G, & y qui va vers H, & qui fait avec A G un angle quelconque G A H. Si outre la Formule que l'on construir, il y a une redu&tion pour y, elle sera semblable à une des deux précedentes, c'est-à-dire, qu'elle sera y +6 <u, & on la con. struira comme les precedentes 'en prenant sur AH, prolongée ou non prolongée selon qu'il y a y+b, ou y—b, la partie AC, Ou AD=b, & l'origine de l'inconnue u sera au point C, s'il y a y+b='; au point D, s'il y a

-b=u,& ira vers ń dans l'un & l'autre cas : mais s'il y a b-y=u, le point D sera l'origine de u qui ira vers A. Cela posé.

Si la Réduction est x+y=k, l'on prendra fur AD un point quelconque E, par où l'on menera EF parallele à AG, & ayant prolongé EF en B, en sorte que EB =AE, l'on menera de A par B la ligne AB indéfiniment prolongée du côté de B, & BF = BE+ EF

(Const.) A E + EF sera = x+y=k, & le point A serą l'origine des trois inconnues x, y& 2. Mais s'il y avoit une Réduction pour y telle que celle qu'on vient de construire, l'origine des inconnues u parallele à AH & a parallele à AG, seroit au point o ou P, où la ligne AB rencontreroit la parallele à AG menée par C ou par D; de forte que les coordonnées de la courbe qu'il faut décrire sont à present AB & BF, ou OB & BF, ou PB & BF.

Si la Réduction croît x-y=k, les points B, O&P seroient de l'autre côté de AH.

CONSTRUCTION

ay

=Z. b

De la quatrième Formule x + 7. Elle est la même que la précedente, excepté qu'au lieu de prendre EB = AE, il faut prendre EB telle

que EB. EA :: a. b:car BF= EF + EB=x+=

CONSTRUCTION

ay

+ CEZ b

De la cinquième & fixième Formule x +y+b=2,

&x+

+ 8. La construction de ces deux Formules ne differe de celle des deux précedentes qu'à cause de+b, & de +r;

c'est pourquoi ayant construit (no. 6.& 7.) x+y, &*+. F 16.76. on prendra sur AG prolongée du côté de A (en supposant

qu'il y a + 6, ou + c) A1=b, ou =C; & l'on menera par į la ligne IK parallele à AB qui rencontrera en K, la ligne B E F prolongée du côté de B , & K F sera =x+y+6=r, ou x++=, & le point 1 sera l'origine des inconnues y & 7, s'il n'y a point de réduction pour y: mais s'il y a une réduction pour y, le point L ou M sera l'origine des inconnues u & 2; de sorte que les coordonnées de la courbe qu'il faut décrire, sont presentement

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