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bc

a

bc

+x=z, l'on a x = z— & mettant cette valeur

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7

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12. SOIT l'équation xx-ax―by, pour faire évanouir
le fecond terme, on fera x — a=
- a=7, & l'on aura -
4aa=by, ou X= 4 aa + by, ou =bc + by, en met-
tant be pour aa
pour aa, & faifant encore c+y=u, l'on aura
X= bu, qui eft un lieu à la parabole dont le parametre

༢༢

eft b.

EXEMPLE X.

:

13. SOIT l'équation xx + xy =ab. On peut réduire cette équation en faisant évanouir le fecond terme, & elle fe rapportera aux diametres de l'Hyperbole : car faifant x+y=7, l'on aura zg—yy=ab, ou z— abyy. Mais parceque xxxy=xxxy, en faisant x+y=2,l'on aura zx=ab qui se rapporte aux afymptotes. EXEMPLE X I.

XX

14. SOIT xy = by, on pourroit encore réduire cette équation en faisant évanouir les feconds termes, & elle fe rapporteroit aux diametres de l'Hyperbole : mais on peut auffi la réduire aux afymptotes comme l'on a fait la précédente: car en tranfpofant, l'on a xx = Voyez l'ar-xy; & faifant x+b=z, l'on a x=-b, & mettant ticle 22. cette valeur de x dans l'équation à réduire, l'on aura z n°. 9. — 2bz + bb = zy, ou zy + 2bz —zz=bb, & faifant y <=u, l'on aura uz = bb, qui bb, qui fe rapporte aux

+26

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afymptotes.

=by

CONSTRUCTION

CONSTRUCTION DES REDUCTIONS.

XVI. EN réduifant les équations indéterminées, l'on en forme d'autres plus fimples, que nous avons nommées Réductions. Et comme c'eft par le moyen de ces Réductions que l'on conftruit les premieres, l'on a jugé à propos d'en donner ici la conftruction en particulier pour avoir plus de facilité à construire les autres.

Toutes les Réductions fe peuvent rapporter à quelqu'une des fix Formules fuivantes, où a, b & c expriment des quantitez connues quelconques complexes, ou incomplexes.

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CONSTRUCTION

De la premiere Formule x + az.

SOIT le point fixe, ou l'origine des inconnues x, F 16.73. qui va vers H, & y qui va vers G, & qui forment l'angle GAH tel qu'il doit être felon les qualitez du Problême, dont on fuppofe ici que l'on fait la construction. 1o. Si la Réduction eft x + a = 2, il eft clair que la conftruction se doit faire fur la ligne AH exprimée par x,& que pour avoir fur AH indéfiniment prolongée vers H une ligne égale à ༢, il faut prolonger AH du côté de A en C, en forte que AC-a: car l'on aura alors CA + AH=a +x=z; & ainfi le point C fera alors l'origine, ou le commencement de qui va vers H, & de y qui va versg, en demeurant toujours parallele à AG, de forte que s'il n'y avoit point de Réduction pour y, le point C feroit l'origine des inconnues de l'équation réduite, dont celle que l'on vient de conftruire eft une Réduction,

T

FIG. 74.

FIG. 73.

2. Si la Réduction eft x-az, l'on prendra le point
C du côté de H par raport à A, & l'on fera AC=a;&
le point C fera le commencement de qui va toujours
vers H, & de y qui va vers g parallele à AG; car alors
AH-AC = CH=x
az;& s'il n'y avoit point
de réduction pour y,
le point C feroit l'origine des in-
connues de l'équation réduite.

3. Mais fi dans l'un ou dans l'autre, ou dans tous les
74. deux Cas précédens, il y a une réduction pour y
fembla..
ble à la précédente, par exemple, y+bu l'on fera
fur Cg ce que l'on vient de faire fur AH, c'est-à-dre,
que s'il y a y bu, on prolongera Cg en O, & s'il y a
y—b=u,
=u, l'on retranchera Co de Cg, en faisant CO,
ou Cob; & le point 0, ou o fera l'origine des inconnues
de l'équation réduite z qui va toujours vers g, & qui va
vers M, ou m parallele à CH; de forte que les nouvelles
inconnues & font le même angle au point 0, ou o que

les premieres x &y au point A, qui eft leur origine.

FIG. 75.

4.

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༢.

L'ON Voit
par la feule inspection de cette Formule
que les deux inconnues x & z font ensemble égales à la
grandeur a;
c'est pourquoi A étant le commencement
de x qui va vers H, ayant pris fur A H l'intervalle AC
=a, le point C fera le commencement de z, qui en ce
cas va vers A, & de y qui va vers g parallele à AG: car
fi l'on prend librement un point D lur AC; AD étant
CD fera a-x=z; & le point D n'étant point fixe ne
* =༢.;
peut être l'origine de ; c'eft pourquoi puifque x a fon
origine au point A, 3 commencera néceffairement au point
fixe C, & ira par conféquent vers A.

༢;

x

5. S'il y a encore une Réduction pour y femblable à une des deux premieres Formules, on la construira comme on a fait les précédentes.

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CONSTRUCTION

De la troifiéme Formule x+y=z.

6. TOUTES les Réductions, où se trouvent les deux
inconnues x & y de l'équation à réduire, viennent des
équations où les mêmes inconnues font multipliées l'une
par l'autre dans quelque terme, & où l'une des deux, ou
toutes les deux font quarrées. Or pour ne point se trou-
ver embarraffé dans la construction de la Réduction, la
lettre inconnue de la Réduction qui eft multipliée par l'au-
tre inconnue dans l'équation à réduire, doit être con-
ftruite la premiere; par exemple, fi l'équation à réduire
est xx—xy = ab; foit qu'on faffe x — • 1⁄2y=z,
=, pour faire
évanouir le second terme, foit qu'on faffe x-y=z pour
changer le rectangle compofé xx-xy, en un
xy, en un fimple xz,
il faudra toujours conftruire y la premiere.

Suppofons dans cette Formule que y étoit multipliée, par x dans l'équation à réduire, & foít A le point fixe où FIG. 76. commencent les inconnues x qui va vers G, & y qui va vers H, & qui fait avec AG un angle quelconque GAH. Si outre la Formule que l'on conftruit, il y a une reduction pour y, elle fera femblable à une des deux précedentes, c'est-à-dire, qu'elle fera y+bu, & on la conftruira comme les précedentes en prenant fur AH, prolongée ou non prolongée felon qu'il y a y+b, ou yb, la partie AC, ou AD=b, & l'origine de l'inconnue z sera au point C, s'il y a y+b; au point D, s'il y a y—b =u, & ira vers H dans l'un & l'autre cas : mais s'il y a by-u, le point D fera l'origine de u qui ira vers A. Cela pofé.

Si la Réduction est x+y=z, l'on prendra fur AD un point quelconque E, par où l'on menera EF parallele à AG, & ayant prolongé EF en B, en forte que EB = AE, l'on menera de 4 par B la ligne AB indéfiniment prolongée du côté de B, & BF — BE + E F —

༢.

(Conft.) AE+EF sera = x+y=z, & le point A serą
l'origine des trois inconnues x, y & z. Mais s'il y avoit une
Réduction pour y telle que celle qu'on vient de construi-
re, l'origine des inconnues u parallele à AH & z paral-
lele à AG, feroit au point 0 ou P, où la ligne AB ren-
contreroit la parallele à AG menée par C ou par D; de
forte que les coordonnées de la courbe qu'il faut décrire
font à prefent AB & BF, ou OB & BF, ou PB & BF.
Si la Réduction croît x-y=z, les points B, O & P
feroient de l'autre côté de AH.

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7. ELLE eft la même que la précedente, excepté qu'au
lieu de prendre EBAE, il faut prendre EB telle
EB. EA:: a. b: car BF EF+EB=x+7=2

CONSTRUCTION

De la cinquième & fixième Formule x+y+b=z,
ay
&8+ +c=2.

que

8. LA construction de ces deux Formules ne differe de celle des deux précedentes qu'à cause de+b, & de

c'est pourquoi ayant construit (no. 6. & 7.) x ±y, & x±7%, FIG. 76. on prendra fur AG prolongée du côté de A (en fuppofant qu'il y a + b, ou+c) ДI=b, ou = c; & l'on menera par la ligne IK parallele à AB qui rencontrera en K, la ligne BEF prolongée du côté de B, & KF fera =x+y+b=2, ou x+%/+c=z, & le point I sera l'origine des inconnues y & z, s'il n'y a point de réduction pour y mais s'il y a une réduction pour y, le point Z ou M fera l'origine des inconnues u & z; de forte que les coordonnées de la courbe qu'il faut décrire, font prefentement

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