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IK & KF, ou LK & KF, ou MK & KF.

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L'on a fuppofé qu'il y avoit + dans les deux réductions que l'on vient de conftruire : mais il n'est pas plus difficile de les conftruire, en fuppofant qu'il y a par toutou + & —, ou — &+: car cela ne peut que changer la pofition des lignes AB & IK par raport à elles-mêmes, & à la ligne AH; & dans tous les cas AB & IK feront toujours paralleles.

CONSTRUCTION

Des équations, ou des lieux à la ligne droite.

&

XVII. Au lieu de proposer fimplement des équations à construire, on proposera des Problêmes à réfoudre; après avoir ramené les équations que l'on en tirera à l'état de celles des trois Sections précedentes, on en donnera la Construction, & enfuite la Démonstration.

I.

PROBLEME INDÉTERMINÉ.

UN N angle GAH étant donné, il faut trouver au dedans FIG. 77 un point M, d'où ayant mené MP parallele à AG, PM foit égale à une ligne donnée AB.

Ayant fuppofé le Problême réfolu, & nommé la donnée AB, a; & l'inconnue PM, x; l'on a par la qualité du Problême xa, qui eft une équation à ligne droite, & qui fournit cette conftruction.

Soit menée par B la ligne BM parallele à AH. Je dis que BM renferme tous les points qui fatisfont au Pro

blême.

DEMONSTRATION.

AYANT mené par un point quelconque N de la ligne BM, la droite NQ parallele à AG; AN étant un parallelogramme, l'on aura toujours QN AB, ou x — a. C. Q. F.D.

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T iij

PROBLEME INDÉTERMINÉ.

FIG. 78. 2. UN. angle GAH étant donné, il faut trouver dans cet angle un point M, d'où ayant mené MP parallele à GA, AP &PM foient enfemble égales à une ligne donnée KL.

FIG. 79.

Ayant fuppofé le Problême réfolu, & nommé la donnée KL, a; & les inconnues AP, x & PM,y; l'on aura par les qualitez du Problême x+y=a, ou y = a—x, qui eft une équation à la ligne droite : mais parcequ'elle contient trois termes, je fais a xz : ce qui réduit ༢ : l'équation à celle-ci yz, qui n'en a que deux, & qui donne cette Construction.

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Ayant pris fur AH & fur AG les lignes AB & AC égales à KL, & mené la ligne BC. Je dis que tous les points comme M de la ligne BC fatisfont au Problême.

DE'MONSTRATIO N.

A Caufe de la réduction a—x=z, AB étant nom-
mée a,
& AP, x; BP fera a-x ou z, dont l'origine
eft (Art. 16. no. 4. ) en B, & qui va vers A. Or puifque
(Const.) AB= AC & PM parallele à AC, PM fera
égale à PB; c'est pourquoi AP + PM, ou AP+PB=
KL, ou en termes Algebriques x+y=a. C.Q.F.D.

PROBLEME INDÉTERMINÉ.

3. DEUX lignes paralleles AH, BK terminées en A & B par une autre ligne AG qui fait avec elles un angle quelconque GAH, étant données de pofition. Il faut trouver dans l'angle GBK le point M, d'où ayant mené MP parallele à GA, qui rencontre BK en E; ME foit à AP, ou à BE dans la raison donnée de mà n.

Ayant fuppofé le Problême réfolu, & nommé la donnée AB, ou PE, a; & les inconnues AP, ou BE,x,

PM, y, EM fera ya ; & l'on aura par les conditions
du Problême
y - a.x::m.n; donc mx = ny —
—na; &
comme l'on ne peut point trouver une feconde équation,
il fuit que le Problême eft indéterminé: & le lieu qui
renferme tous les points qui fatisfont au Problême est une
ligne droite, puifque dans l'équation mx = ny-na, les
inconnues x & y n'y font multipliées, ni par elle-mê-
me, ni entr'ellés. Pour réduire cette équation à deux
termes, je fais y- a=z, & mettant z dans l'équation
pour ya, l'on a mx = nz qui donne cette construction.
A étant le point fixe ou l'origine des inconnues x qui
va vers H, & y qui va vers G, à caufe de la réduction
-a, le point B devient l'origine des inconnues x
qui va vers K, & qui va vers G, foit pris BC=n, &
mené par C la droite CD parallele à BG &= m. Je dis
que la ligne indéfinie BDI menée par les points B & D
fatisfait au Problême.

DEMONSTRATIÓN.

y

AYANT mené par un point quelconque N pris fur BI, la droite NOR parallele à AG, ou à CD, les triangles semblables BCD, BQN donneront BC. CD:: BQ. QN, ou en termes Algebriques n: m :: x. z; donc mx=nz ou mx ny―na, en mettant pour fa valeur y-a, qui eft l'équation que l'on a conftruite. C. Q.F.D.

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CONSTRUCTION

༢;

Des Equations ou des lieux au cercle.
PROBLEME INDÉTERMINÉ.

XVIII.UNE ligne AB étant donnée de grandeur & de FIG. 80.
pofition. Il faut trouver hors de cette ligne un point M, en forte
qu'ayant mené de ce point aux extrémitez A & B de la ligne
AB, les droites MA, MB, le quarré de MA foit au quarré
de MB dans la raifon donnée de m à n.

Ayant fuppofé le Problême résolu, on abbaiffera du point M fur AB la perpendiculaire MP, & ayant nommé la donnée AB, a ; & les indéterminées AP, x; & PM, y; PB fera a — x ; MÃ2, xx + yy, & MB2, aa — 2ax +xx + yy, & l'on aura par les qualitez du Problême xx+yy. aa 2ax + xx+yy :: m. donc ni

nxx +

nyy = maa — 2max +mxx + myy, ou en fuppofant que m surpasse n mxx

=o, ou xx

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2max

nxx

m-n

+

maa

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m-n

2max + maa + myy yy

+yy=0, en divifant par

m n; & comme on ne peut point trouver d'autre équation pour faire évanouir une des inconnues, il fuit que le Problême eft indéterminé ; & parceque dans l'équation il y a deux quarrez inconnus délivrez de toute quantité connue qui ont mêmes fignes dans le même membre de l'équation, & que les inconnues AP & PM exprimée par x & y font un angle droit ; il fuit que l'équail fuit tion appartient au cercle, ou ce qui eft la même chofe, que tous les points qui fatisfont au Problême font à la circonference d'un cercle; il ne s'agit donc plus que de le déterminer par le moyen de l'équation que l'on vient de trouver : mais comme il y a un fecond terme dans l'équation, il eft clair (Art. 12. no. 14.) que le point A qui est l'origine des inconnues x & y n'eft point le centre de ce cercle; pour le trouver il faut faire évanouir le fecond

terme; pour ce fujet, je fais x

l'équation à celle-ci yy

ma

- > m-n

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valeur de x & fon quarré dans l'équation

fubftitué z+

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connues y & ont leur origine au centre. Or pour trou ver le centre du cercle, ou l'origine des inconnues y & Z,

il faut conftruire la réduction x

fait en cette forte.

ma

m-n

༢. Ce qui fe

A étant l'origine des inconnues x qui va vers B, & y qui lui eft perpendiculaire, foit prise AC

ma

m-n

le

point C fera (Art. 16. no. 2.) l'origine des inconnues y & z. & par confequent le centre du cercle qu'il faut décrire: mais le terme connu de l'équation réduite

mnaa

mm-2mnnn

eft le quarré du demi diametre du même cercle; c'est

pourquoi fi du centre C & du rayon

on peut fubftituer

Ymnaa

m-n

(Dans

Vmnaa au lieu de mn, on peut gg. Ainfi au lieu de √mnaa, on aura Vaaggag. Par consequent Vmnaa

ag =CD=CE.) Si, dis-je, du centre C & du rayon

m-n

CD ou CE l'on décrit le cercle DME, tous les points M de fa circonférence fatisferont au Problême.

DE'MONSTRATION.

AYANT abbaiffé d'un point quelconque M pris fur la circonference du cercle la perpendiculaire MP, par la proprieté du cercle CD', ou CE2 — CP2 — PM2, ce qui

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