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ag

Vinaa par construction CE=

& CP=2 Donc

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mn

m-1

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2max.

m-n

Or PM=y. Donc PM =yy: mais 2 = xx —

Mettant donc cette valeur de z dans

muda

mm - 2mn + nn

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l'équation precedente, on aura après les réductions, & transpositions mxx — nxx — 2max + maa + myy - nyy o, qui est l'équation que l'on a construite. C. 2. F.D.

PROBLEME INDÉTERMINÉ. F16.80. 1. ES mêmes choses étant supposees que dans le Problème

précedent ; il faut trouver le point M, en sorte que MA soit à MB dans la raison donnée de m n.

En donnant aux lignes les mêmes noms que dans le Problême précédent, on aura par la qualité du Problê. me Vxx + yy. Vaa Lax + xx + yy :: min;

donc nx

2mmax +mmaa

Vxx + yy=mxVaa2ax+ xx+yy, ou nnxx + nnyy = mmaa - 2mmax+mmxxi+mmyy, ou en supposant que m surpasse n, & divisant par mm ----nn, l'on aura xx

+ yy=o, qui est une équation au cercle dont l'origine des inconnues x & y n'est point le centre à cause du second terme ,

faisant donc x K, pour faire évanouir

faire évanouir le second terme, l'équation se

mm

-nn

2mmax

mma

mm

nn

mm

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munnar

substitué 2+

m2 - 72

réduira à celle-ci —

+yy=0;carayant mo 2mmnntna mia valeur de x, & son quarré dans l'é.

ma

ma? quation précedente, on aura 7k

+ gi

m'n?

mi-n = o destitué de second terme : mais réduisant ces termes mu a? ma' &

en même dénomination, il restera z

mm m-n

2

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тта

mm

- nn

origine au centre du cercle qu'il faut décrire. Pour trouver ce centre, il faut construire la réduction x

ca = 2. Ce qui se fait en cette forte.

Le point A étant l'origine des inconnues de l'équation à réduire x qui va vers B, & y qui lui est perpendiculaire ; soit prise AC=

au lieu de

= AC,

mma

mmnn

m2

n2

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ad

mtn

mna

= = AC; le point c fera celui que l'on cherche; c'est pourquoi fi du centre C,

& du rayon

>

тт пn

qui est la racine du terme connu de l'équation réduite , l'on décrit le cercle DME, tous les points de la circonférence satisferont au Problême.

Y

: Pour trouver CE ou CD

il faut faire m

mna

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ag

ag

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m+n

mtn

n.a::8:

sera égale à CE ou CD qui sera. le rayon

cherché, On peut encore trouver plus simplement le centre du cercle en certe forte ; puisque

est l'express

mma

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mm

nn

fion de la distance du point A au centre que l'on cherche, si l'on ôte & si l'on ajoute à cette expression l'expression du demi diametre qui est

l'on aura

inn mma tmna

& divisant les deux termes

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mm

mma.

mna

&

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de la premiere fraction par me -- N

n , & ceux de la sem conde par m + n, l'on aura &

mtn

mg

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AD
& AE

DE sera le diametrę dų cercle, & par conséquent le point C, qui divise DE par le milieu, sera son centre.

mmnnaa

D E'MONSTRATION. AYA

A NT abbaissé d'un point quelconque M la perpendiculaire PM, par la proprieté du cercle D P *PE= PM'. Ce qui est en termes Algebriques

2mmnn tn -2=yy: car DP=CD-CP,& PE=CD + CP. Donc DP X PE=CD -CP x CD + CP

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mna

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mnd

mnd

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m

PM. Or CD=

& CP = L & PM =

Y m Donc CD-CP XCD+CP –

Xx

m??
m?*? a?

mtaa
m=yy;mais zz=
m4 — 2m2 72 +34

2mmnr +R*
2ттах
+ xx , & mettant cette valeur de zz dans l'é.

maa quation précédente l'on a

m2mmnn+n* =yy, & en divisant les deux termes de la premiere fra

2mmax tmmaa ction par mm nn l'on a xx

+yy=0, qui est l'équation que l'on a construite. C. Q. F.D.

mm -nn

mmnnad

2mmax

+

XX

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mm -nn

= da

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R E MARQUE. 2. Si dans les équations à réduire des deux Problêmes précedens mest égale à n, elles deviendront x = a; car dans ces deux Problêmes , les analogies se réduisent à celle-ci , xx + yy.da — 2ax + xx+yy:: 1.1. Donc xx + yy

2ax + xx + yy ; ou bien 2ax = aa. Par consequent x=ka; ce qui montre que le lieu qui satisfait au Problême est une ligne droite qu'il faudra élever perpendiculairement au milieu de A B,& fi m est moindre

que n , dans les réductions, & dans les équations réduites n se trouvera en la place de m & m en la place den, & le centre du cercle sera sur A B prolongé du côté de A.

PROBLÊME INDÉTERMINÉ. . DE EV X lignes GA, HB perpendiculaires l'une à l'au- Fic: S1. tre, & un point fixe D sur AG étant données ; il faut trouver dans l'angle G AH un point M par é par D ayant mené la droite MDB qui rencontre AH en B, le reftangle MD * D B soit égal au quarré de la ligne donnée D A.

3.

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da

Ayant supposé le Problême résolu, mené du point M sur G A la perpendiculaire MP, & nommé la donnée AD, a; & les indéterminées D P ,x; PM, y; à cause du triangle rectangle DPM, MD sera Vxx + y) ; & à cause des triangles semblables PDM, ADB; DP (*).

а/ xx+yy DM (V xx + yy) :: DA(a). DB=

donc

par
axx + ayy
la condition du Problême

(MD ~ DB)
(DA); donc xx ax + yy = 0, qui est une équa-
tion au cercle où les inconnues x & y n'ont point leur
commencement au centre, parceque xx a un second ter-
me — ax; qu'il faut par consequent faire évanouir ; c'est
pourquoi en faisant *

{ a =k, on réduira l'équa-
tion à celle-ci 2 – & aa + yy =.0, ou yy = aa —
KK, où les indéterminées

у

&2, ont leur origine au centre que l'on trouvera en faisant DC = | AD={a, à cause de la réduction x {a=R; & parceque le ter. me connu de l'équation est 4 aa dont la racine est ļa

au demi diametre du cercle, on décrira du centre C
par D le cercle DMG qui satisfera au Problême.

DEMONSTRATION.
AYA ANT abbaissé d'un point quelconque M la perpendi-
culaire PM, par la proprieté du cercle, DP RPG=PM2,
ce qui est en termes algebriques ( DP étant , *; & DG,
a ; ) ax — xx=yy, ou xx — ax + yy=0, qui est l'équa-
tion que l'on a construite. C. Q. F. D.

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