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ag

Vinaa par construction CE=

& CP=2 Donc

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mn

m-1

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2max.

m-n

Or PM=y. Donc PM =yy: mais 2 = xx —

Mettant donc cette valeur de z dans

muda

mm - 2mn + nn

l'équation precedente, on aura après les réductions, & transpositions mxx — nxx — 2max + maa + myy - nyy o, qui est l'équation que l'on a construite. C. 2. F.D.

PROBLÊME INDÉTERMINÉ. F16.80. 1. ES mêmes choses étant supposees que dans le Problème

précedent ; il faut trouver le point M, en sorte que MA soit à MB dans la raison donnée de m n.

En donnant aux lignes les mêmes noms que dans le Problême précédent, on aura par la qualité du Problê. me Vxx + yy. Vaa Lax + xx + yy :: min;

donc nx

2mmax +mmaa

Vxx + yy=mxVaa2ax+ xx+yy, ou nnxx + nnyy = mmaa - 2mmax+mmxxi+mmyy, ou en supposant que m surpasse n, & divisant par mm ----nn, l'on aura xx

+ yy=o, qui est une équation au cercle dont l'origine des inconnues x & y n'est point le centre à cause du second terme ,

faisant donc x K, pour faire évanouir

faire évanouir le second terme, l'équation se

mm

-nn

2mmax

mma

mm

nn

mm

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munnar

substitué 2+

m2 - 72

réduira à celle-ci —

+yy=0;carayant mo 2mmnntna mia valeur de x, & son quarré dans l'é.

ma

ma? quation précedente, on aura 7k

+ gi

m'n?

mi-n = o destitué de second terme : mais réduisant ces termes mu a? ma' &

en même dénomination, il restera z

mm m-n

2

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тта

mm

- nn

origine au centre du cercle qu'il faut décrire. Pour trouver ce centre, il faut construire la réduction x

ca = 2. Ce qui se fait en cette forte.

Le point A étant l'origine des inconnues de l'équation à réduire x qui va vers B, & y qui lui est perpendiculaire ; soit prise AC=

au lieu de

= AC,

mma

mmnn

m2

n2

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ad

mtn

mna

& du rayon

тт пn

= = AC; le point c fera celui que l'on cherche; c'est pourquoi fi du centre C,

qui est la racine du terme connu de l'équation réduite , l'on décrit le cercle DME, tous les points de la circonférence satisferont au Problême.

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mna

: Pour trouver CE ou CD

il faut faire m

m2 - na n. m :: n.

=

Donc substituant g dans l'équation

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mtn ag

ag

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mtn

mtn

sera égale à CE ou CD qui sera le rayon cherché.

On peut encore trouver plus simplement le centre du cercle en cette sorte ; puisque

mma

est l'express

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mm

nn

fion de la distance du point A au centre que l'on cherche, si l'on ôte & si l'on ajoute à cette expression l'expression du demi diametre qui est

l'on aura

mna

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mmnn

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de la premiere fraction par me

n, & ceux de la sem conde par m +1, l'on aura &

mtn

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cercle, & par conséquent le point C, qui divise De par le milieu, sera son centre,

D E'MONSTRATION. AYANT abbaisse d'un point quelconque M la perpendiculaire PM, par la proprieté du cercle D P *PE= PM?. Ce qui est en termes Algebriques

m* -2=yy: car DP=CD-CP, & PE=

CD+ CP. Donc DP X PECD-CP x CD + CP

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mna

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mnd

mnd

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PM. Or CD=

& CP = L & PM =

8 m Donc CD-CP XCD+CP –

m??
m? m? a?

mtaa
m=yy;mais z=
m4 — 2m2 72 +34

2mmnr +R*
2ттах
+ xx , & mettant cette valeur de zz dans l'é.

maa quation précédente l'on a

m2mmnn+n* =yy, & en divisant les deux termes de la premiere fra

2mmax tmmaa ction par mm nn l'on a xx

+ yy=0, qui est l'équation que l'on a construite. C. Q. F.D.

mm -nn

mmnnad

2mmax

XX

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mm -nn

= da

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R E MARQUE. 2. Si dans les équations à réduire des deux Problêmes précedens mest égale à n, elles deviendront x = a; car dans ces deux Problêmes , les analogies se réduisent à celle-ci , *x + yy. aa – 2ax + xx+yy:: 1.1. Donc xx + yy

2ax + xx + yy ; ou bien 2ax = aa. Par consequent x={a; ce qui montre que le lieu qui satisfait au Problême est une ligne droite qu'il faudra élever perpendiculairement au milieu de A B,& fi m est moindre

que n , dans les réductions, & dans les équations réduites n se trouvera en la place de m , & m en la place den, & le centre du cercle sera sur A B prolongé du côté de A.

PROBLÊME INDÉTERMINÉ. DE EV X lignes GA, HB perpendiculaires l'une à l'au- Fıc: 81, tre, & un point fixe D sur A G étant données ; il faut trouver dans l'angle GAH un point M par

D

ayant mené la droite MDB qui rencontre AH en B, le reftangle MD x D B soit égal au quarré de la ligne donnée D A.

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or & par

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donc par

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da

Ayant supposé le Problême résolu, mené du point M sur G A la perpendiculaire MP, & nommé la donnée AD, a ; & les indéterminées D P ,*; PM, Y; à cause du triangle ređangle DPM, MD sera V xx + y) ; & à cause des triangles semblables PDM, ADB; DP (*).

а/ xx+yy DM (Vxx + yy) :: DA(a). DB:

axx + ayy la condition du Probleme

(MD * DB) (DA); donc xx ax + yy = 0, qui est une équation au cercle où les inconnues x & y n'ont point leur commencement au centre, parceque xx a un second terme — ax; qu'il faut par consequent faire évanouir ; c'est pourquoi en faisant x - { a =k, on réduira l'équation à' celle-ci

a & aa + yy =.0, ou yy = aa — KK, où les indéterminées y &z, ont leur origine au centre que l'on trouvera en faisant DC =

AD={a, cause de la réduction x a=R; & parceque le ter. me connu de l'équation est 4 aa dont la racine est ļa

au demi diametre du cercle, on décrira du centre C par D le cercle DMG qui satisfera au Problême.

DEMONSTRATION. AYA ANT abbaissé d'un point quelconque M la perpendiculaire PM, par la proprieté du cercle, DP RPG=PM?, ce qui est en termes algebriques ( DP étant , *; & DG, a ; ) ax — xx=yy, ou xx — ax + yy=0, qui est l'équation que l'on a construite. C. Q. F. D.

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