Or PM = y. Donc PM=yy: mais zxx mnaa + mm →2mnnn · 2max m-n Mettant donc cette valeur de z dans ༢༢. l'équation precedente, on aura après les réductions, & — nyy PROBLEME INDÉTERMINÉ. FIG. 80. I. LES mèmes chofes étant fuppofées que dans le Problème précedent; il faut trouver le point M, en forte que MA foit à MB dans la raifon donnée de mà n. En donnant aux lignes les mêmes noms que dans le Problême précédent, on aura par la qualité du Problême √xx+yy. Vaa — 2ax + xx + yy :: m. n donc n x √xx+yy=mx√aa—2ax+xx+yy, où nnxx + nnyy = mmaa — 2mmax+mmxx +mmyy, ou en fuppofant que m surpassen, & divifant par mmnn, l'on aura xx 2mmax mmaa +yy=0, qui est une équation au cercle mm nn dont l'origine des inconnues x & y n'est point le centre à 2mmax caufe du fecond terme, faifant donc x mmnn mma mm- nn z, pour faire évanouir le second terme, l'équation se o deftitué de fecond terme : mais réduifant ces termes origine au centre du cercle qu'il faut décrire. Pour trou ver ce centre, il faut conftruire la réduction x mma mm Ce qui fe fait en cette forte... Le point A étant l'origine des inconnues de l'équation à réduire x qui va vers B, & y qui lui eft perpendicu ad AC; le point C fera celui que l'on cherche, c'est mn pourquoi fi du centre C, & du rayon = mna mmnn racine du terme connu de l'équation réduite, l'on décrit le cercle DME, tous les points de fa circonférence fatisferont au Problême. 1 fion de la distance du point A au centre que l'on cherche, fi l'on ôte & fi l'on ajoute à cette expreffion l'ex preffion du demi diametre qui est mna mmnn l'on aura & divifant les deux termes m + n m-n cercle, & par conféquent le point C, qui divife DE par le milieu, fera fon centre. DE'MONSTRATIO N. AYANT abbaiffé d'un point quelconque M la perpendiculaire PM, par la proprieté du cercle DP × PE: P M2. Ce qui eft en termes Algebriques m2 mmnnaa = 4 2mmnn + n Kyy: : car DPCD-CP, & PE CD+ CP. Donc DP x PE CD-CP x CD + CP= m+ 2mmax ·2mmnn +n1 mm -nn XX yy & en divifant les deux termes de la premiere fra 2mmax+mmaa ction par mm - nn l'on a xx — mm -nn +yy=0, qui est l'équation que l'on a construite. C. Q. F.D. REMARQUE. 2. SI dans les équations à réduire des deux Problêmes précedens m eft égale à n, elles deviendront x = a; car dans ces deux Problêmes, les analogies fe réduisent à celle-ci, xx + yy. aa—2ax + xx+yy :: 1. 1. Donc xx + yy = aa — 2ax + xx + yy; ou bien 2ax = aa. Par confequent xa; ce qui montre que le lieu qui fatisfait au Problême eft une ligne droite qu'il faudra élever perpendiculairement au milieu de AB, & fi m eft moindre que n, dans les réductions, & dans les équations réduites n fe trouvera en la place de m, & m en la place den, & le centre du cercle fera fur A B prolongé du côté de A. Λ PROBLEME INDÉTERMINÉ. 3. DEUX lignes GA, HB perpendiculaires l'une à l'au- FIG. Sij tre, & un point fixe D fur AG étant données; il faut trouver dans l'angle GAH un point, M par où & par D ayant mené la droite MDB qui rencontre AH en B, le rectangle MD x DB foit égal au quarré de la ligne donnée D A. Ayant fuppofé le Problême réfolu, mené du point M fur GA la perpendiculaire MP, & nommé la donnée AD, a; & les indéterminées DP,x; PM, y; à cause du triangle rectangle DPM, MD fera √xx + yy; & à caufe des triangles femblables PDM, ADB; DP (x). DM (√ xx+yy ) :: DA(a). DB= la condition du Problême xx+ayy aVxx+yy donc ; par ( MD × DB) = aa (DA); donc xx — ax + yy = 0, qui eft une équation au cercle où les inconnues x & y n'ont point leur commencement au centre, parceque xx a un fecond terme—ax; qu'il faut par consequent faire évanouir, c'est pourquoi en faisant x a=2, on réduira l'équaaa + yyo, ou yy — aa y & z, ont leur origine au cen&, tion à celle-ci zz — — ༢༢ où les indéterminées = tre que l'on trouvera en faifant DC = AD = a, à caufe de la réduction x 1/2 a; & parceque le ter me connu de l'équation estaa dont la racine eft a au demi diametre du cercle, on décrira du centre C par D le cercle DMG qui fatisfera au Problême. DE'MONSTRATION. AYANT abbaiffé d'un point quelconque M la perpendiculaire PM, par la proprieté du cercle, DP x PGPM2, ce qui eft en termes algebriques ( DP étant, x; & DG, a ;) ax — xx = yy, ou xx―ax+yyo, qui eft l'équation que l'on a conftruite. C. Q. F. D. |