CONSTRUCTION Des Equations ou des lieux à la Parabole. PROBLEME INDÉTERMINÉ. XIX. DEUX lignes paralleles AH, BG dont les extrè- F 1 G. 82. mitez A & B font fixes étant données de pofition; il faut trouver entre les deux un point M, par où & par le point A, ayant mené la droite AMD & MP parallele à AB; BD foit à MP; comme une ligne donnée m eft à AB. Ayant fuppofé le Problême réfolu, & nommé la donnée AB, a; & les indéterminées A P, x; PM, y; les triangles femblables MPA, ABD donneront M Þ (y). PA(x): AB(a). BD = , & par les qualitez du Problême.y:: m. a; donc 4x=yy, qui est une équation à la parabole, où les inconnues x &y ont leur origine au fommet du diametre qui eft la ligne AH, fuivant ce qui eft démontré dans la quatrième & cinquiême Section. ал m aa m yy, en mettant Si l'on fait m. a :: a. —p; p sera le parametre du diametre AH, & l'équation fera px = yy, pour fa valeur p, & l'on décrira par le moyen de cette équation la parabole A M fur le diametre AH dont le parametre eft p, comme il eft enfeigné (Art. 1o. n°. 11.), fi l'angle BAP eft droit,, ou Art. 11. no. 11, s'il eft oblique. Et je dis que tous les points de cette parabole fatisfont au Problême. DE'MONSTRATION. AYANT mené ANT mené par un point quelconque M, pris fur la parabole, la ligne MP parallele à BA, l'on aura par la propriété de la parabole le rectangle de l'abfciffe AP × p=PM', ce qui eft en termes algebriques px =yy, ou aax yy, en remettant pour p fa valeur qui eft l'équaque l'on a conftruite. C. Q. F. D. tion PROBLEME INDÉTERMINÉ. FIG. 82, 1. AYANT fuppofé les mèmes chofes que dans le Problème 83. précédent, & ayant prolongé PM en E. On demande que le point M foit tel que BD foit à ME; comme une ligne donnée mà BA. m m En laiffant aux lignes les mêmes noms qu'on leur a donnez dans le Problême précédent, ME fera a - y, & les qualitez du Problême donneront. a-yy:: m. a; donc 4x =ma—my, ou ax = ay-yy, ou yy ay + anx qui eft une équation à la parabole, parcequ'il n'y a qu'un quarré inconnu yy, & que les deux inconnues x & У ne fe multiplient point: mais parcequ'elle contient trois termes, le fommet du diametre fur lequel il faut décrire la parabole, n'est point en A; quoique le point A foit l'origine des inconnues x & y. Il faut donc réduire cette équation, afin de trouver par le moyen des réductions le fommet du diametre fur lequel on doit décrire la parabole qui doit réfoudre le Problême. En faifant pour ce fujet y—au, afin de faire évanouir le fecond terme ay, l'on réduit l'équation à celle ci uu — aa + uu = — aa aaax: car le quarré uu doit être feul dans un des membres de l'équation, & comme il y a encore trois termes dans cette équation, l'origine des inconnues u & x, n'eft point encore au fommet du diametre fur lequel on doit décrire la parabole; il faut donc encore que les deux termes aa fe réduisent à un feul. Pour ce fujet on cherchera 10. une 3e proportionnelle à m & àa, qui étant nommée b; l'équation réduite fe changera en celle-ci uu aa bx, puifque b. 2o. Ayant pris bc aa, l'on aura uu — bc-bx, en mettant pour aa fa valeur be; & faifant enfin c-x=z, l'on aura uu = ༢. en mettant pour c―x fa valeur z, qui eft une équation. = m nax = na n = = aax m =0, ou où où les inconnues u & zont leur origine au fommet du diametre fur lequel il faut décrire la parabole, & dont le parametre eft b. ز m Les réductions & les changemens que l'on vient de faire fourniffent la conftruction qui fuit. Il eft clair que la parabole doit paffer par les points A & B: car fi dans l'équation à réduire yy — ayaro, l'on fait y =o; les termes où y fe rencontre deviendront nuls, & l'on aura ax =0, où x=0, qui montre qu'elle paffe par le point A, puifque x &y s'y anéantiffent; & fi au lieu de y fait xo, le terme a fe détruira, & l'on aura yy — ay =0, d'où l'on tire y=a, ce qui montre que la parabole paffe auffi par le point B; puifqu'en ce cas le point P tombant en A à caufe de xo, le point M tombe en B à caufe de y = a. aax m = on = ༢ Le point A étant l'origine des inconnues x qui va vers FIG. 83. H, & y qui va vers B, à cause de la premiere réduction yau, on divifera AB par le milieu en C, & ayant mené par C la droite CF parallele à AH, le point C'fera l'origine des inconnues a qui va vers A & vers B, & x qui va vers F: & à cause de la feconde réduction c ayant fait C Fc, alors le point F fera l'origine des inconnues qui va vers C, & u qui demeure parallele à AB, & le fommet du diametre BC fur lequel l'on décrira (Art. 10. n°. 11, ou Art. 11. n°. 11, felon que l'angle CAH ou ACF eft droit ou oblique ) la parabole AFB, par le moyen de l'équation réduite uu = bz, qui fatisfera bz, au Problême. DEMONSTRATION. m en AYANT mené d'un point quelconque M pris fur la parabole, la ligne MI parallele à BC, l'on dura par la proprieté de la parabole uu=bz, ou yy — ay + ax=0, remettant pour z, pour z, & pour 6, leurs valeurs y—a, c-x, &, & pour be fa valeur aa, qui est l'équation que l'on a conftruite. C. Q. F. D น bc PROBLEME INDÉTERMINÉ. FIG. 84.2. UNE ligne AB étant donnée de grandeur & de pofition. Il faut trouver un point M hors de cette ligne; en forte qu'ayant mené la ligne MP parallele à une ligne donnée A G, & qui rencontre AB, en P; le rectangle AP × PB foit égal Etangle de PM par une ligne donnée b. au re Ayant fuppofé le Problême réfolu, foit divisée AB par le milieu en C, & nommé la donnée AC, ou CB, a; & les indéterminées CP, x; PM, y; A P fera a + x, & PB, a-x; & l'on aura par les qualitez du Problême aa xx = by, ou xx aa by, qui eft une équation à la parabole où les indéterminées x & y n'ont point leur origine au fommet du diametre fur lequel il faut la décrire. Pour réduire cette équation, je prens bcaa, & l'équation deviendra xxbcbc-by, by, en mettant be pour aa. Et faifant -y=u, & mettant u en la place de c—y, l'on aura xx bu, que bu, que l'on construira en cette forte. Le point C étant l'origine des inconnues x qui va vers B & vers A, & y qui va vers D parallele à AG, à cause de la réduction c-yu, l'on prendra CD=c, & le point D fera l'origine des inconnues a qui revient vers C, &x qui eft parallèle à AB, & le fommet du diametre DC fur lequel on décrira (Art. 10, no. 11, ou Art. 11. n°. 11.) la parabole ADMB, par le moyen de l'équation réduite xx bu, qui fatisfera au Problême. DEMONSTRATION. IL eft clair 10. que la parabole paffe par les points A & 2o. D'un point quelconque M pris fur la parabole ayant mené M P & MQ paralleles à DC & à CB, l'on aura ( Art. 10. n°. 8. ) DQ. DC :: QM'. CB', ou en termes aay algebriques u, ou c-y.c:: xx. aa, & partant aac PROBLEME INDÉTERMINÉ. 3. UN angle GAH, & un point fixe B fur un de ses côtez FIG. 85. AH étant donnez de pofition. Si par le point B on mene la droite BC perpendiculaire à AH, & d'un point quelconque P la droite PE parallele à BC qui rencontre AG en E, & que du centre B, & du rayon PE l'on décrive un arc de cercle qui coupe PE en M; & comme l'on peut trouver une infinité de points comme M, il faut trouver une équation qui exprime la nature de la courbe que tous les points Ṁ forment. M Ayant fuppofé le Problême réfolu, mené B M, & nommé les données AB, a; BC, b; & les indéterminées BP, x; PM, y; AP fera a + x; & les triangles femblables donneront AB (a). BC (b) :: AP(a+x) =( Const.) BM; & à cause du triangle aabb +2abbx+bbxx .PE= ab+bx a rectangle BPM, l'on aura xx+yy — ·aaxx=— aa ou aaxx+aayy = aabb+2abbx+ bbxx, ou en fuppofant Pour la réduire, on la divifera premierement par 2 afin que x ne foit accompagnée d'aucune quantité connue dans la réduction, & l'on aurayyax + 1⁄2 aa, & ayant |