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CONSTRUCTION

Des Equations ou des lieux à la Parabole. PROBLÊME INDÉTERMINÉ. xix.Dev X lignes paralleles AH, B G dont les extré. F 16. $2. mitez A & B font fixes étant données de position ; il faut trou. ver entre les deux un point M, par & par le point A , ayant mené la droite AMD & MP parallele à AB; BD soit à MP; comme une ligne donnée m eft à AB.

Ayant supposé le Problême résolu, & nommé la donnée AB, a; & les indéterminées A P, X; PM,y; les triangles semblables MPA, ABD donneront M Þ (y). PA (*) :: A B(a). BD=", & par les qualitez du Problême . y::m. a; donc aute ryy, qui est une équation à la parabole, où les inconnues x & y ont leur origine au sommet du diametre qui est la ligne AH, suivant ce qui est démontré dans la quatrième & cinquième Section.

Si l'on fait m. a :: a.mp; p sera le parametre du diametre AH, & l'équation sera px =yy, en mettant pour ma fa valeur p, & l'on décrira par le moyen de cette équation la parabole A M sur le diametre A H dont le parametre est p, comme il est enseigné ( Art. 10. no. 11.), si l'angle BAP est droit,, ou Art. 11. no. 11, s'il est oblique. Et je dis que tous les points de cette parabole satisfont au Problême.

D E' MONSTRATION. A Yant mené

par un point quelconque M , pris sur la parabole, la ligne M P parallele à B A, l'on aura par la propriété de la parabole le rectangle de l'abscisse A P* p=PM, ce qui est en termes algebriques px=yy, ou at

=yy, en remettant pour p sa valeur en die qui est l'équation que l'on a construite. C. Q. F. D.

PROBLEME INDÉTERMIN É. F 16.82, 1. AYANT supposé les mêmes choses que dans le Probleme 83. précédent, & ayant prolongé PM en E. On demande que

le point M soit tel que BD soit à ME; comme une ligne donnée m 2 BA.

En laissant aux lignes les mêmes noms qu'on leur a donnez dans le Problème précédent , ME sera a — y,

&
les qualitez du Problême donneront. a--yy:: m.a;
donc ax=ma— my, out=ay-yy, ou yy — ay +
=o, qui est une équation à la parabole , parcequ'il n'y a
qu'un quarré inconnu yy,

&
que

les deux inconnues * & & y ne se multiplient point: mais parcequ'elle contient trois termes, le sommet du diametre sur lequel il faut décrire la parabole, n'est point en A ; quoique le point A soit l'origine des inconnues x & y. Il faut donc réduire certe équation, afin de trouver par le moyen des réductions le sommer du diametre sur lequel on doit décrire la parabole qui doit résoudre le Problême. En faisant pour ce sujet 4,-4a=u, afin de faire évanouir le second terme ay, l'on réduit l'équation à celle ci uu - aa + =0, ou uu= aaamet: car le quarré uu doit être seul dans un des membres de l'équation, & comme il y a encore trois termes dans cette équation, l'origine des inconnues u & x, n'est point encore au sommet du diametre sur lequel on doit décrire la parabole ; il faut donc encore que les deux termes aa

ar se réduisent à un seul. Pour ce sujet on cherchera 10. une ze proportionnelle à m & à a, qui étant nommée b; l'équation réduite se changera en celle-ci uu= aa - bx, puisque = b. 2o. Ayant pris bc =iaa , l'on aura uu =bc-bx, en mettant pour , aa fa valeur bc ; & faisant enfinc - x=, l'on aura uu = bz, en mettant pour cx fa valeur 3, qui est une équation

ou

AAX
m

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m

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où les inconnues u & zone leur origine au sommet du diametre sur lequel il faut décrire la parabole , & dont le parametre est b.

Les réductions & les changemens que l'on vient de faire fournissent la construction qui suit. Il est clair que la parabole doit passer par les points A & B:car si dans l'équation à réduire yy — ay + y = 0, l'on fait y=0; les termes où y se rencontre deviendront nuls, & l'on aura aux =o, ou x=0, qui montre qu'elle passe par le point Ä, puisque x& y s'y anéantissent ; & fi au lieu dey

o, on fair x=0, le terme como se détruira , & l'on aura yy

d'où l'on tire y=a, ce qui montre que la parabole passe aussi par le point B; puisqu'en ce cas le point P tombant en A à cause de x = 0, le point M tombe en B à

ay

=0,

cause de y

a.

mené

Le point A étant l'origine des inconnues x qui va vers Fig. 83: H, & y qui va vers B ; à cause de la premiere réduction y {=u, on divisera AB par le milieu en C, & ayant

par

Cla droite C F parallele à AH, le point C sera l'origine des inconnues u qui va vers A & vers B,& x qui va vers F:& à cause de la seconde réduction c

= 2 ayant fait CF=1, alors le point F sera l'origine des inconnues z qui va vers C,& u qui demeure parallele à AB, & le sommet du diametre BC sur lequel l'on décrira ( Art. 10. no. 11, ou Art. 11. no. 11, selon que l'angle CAH ou ACF est droit ou oblique ) la parabole AFB, par le moyen de l'équation réduite uu=bz, qui satisfera au Problème.

DE' MONSTRATION. AYAN

ANT mené d'un point quelconque M pris sur la parabole , la ligne Mi parallele à BC, l'on aura par la proprieté de la parabole uu=bz,ou yy-ay +o, en remettant pour u , pour 2, & pour b, leurs valeurs y-a, 1- *,&, & pour bc la valeur aa, qui est l'équation que l'on a construite. C. l. F. D.

X

PROBLÈME - INDÉTERMINÉ. F16. 84. 2. Un E ligne AB étant donnée de grandeur ex de position. Il

faut trouver un point M hors de cette ligne; en sorte qu'ayant mené la ligne MP parallele à une ligne donnée A G, & qui rencontre AB, en P; le reftangle A P R P B soit égal au re{tangle de PM par une ligne donnée b.

Ayant supposé le Problême résolu, soit divisée AB par le milieu en C,& nommé la donnée AC, ou CB,a; & les indéterminées CP , *; PM,y; A P sera a + x, & PB, a- xi & l'on aura par les qualitez du Problême aa

by , ou xx = aa -by, qui est une équation à la parabole où les indéterminées x & y n'ont point leur origine au sommet du diametre sur lequel il faut la décrire.

Pour réduire cette équation , je prens bc = aa , & l'équation deviendra xx=bc-by, en mettant bc pour aa. Et faisant c-y=u,& mettant u en la place de c-y, l'on aura xx=bu , que l'on construira en cette forte.

Le point C étant l'origine des inconnues x qui va vers B & vers A, & y qui va vers D parallele à AG, à cause de la réduction cy=u, l'on prendra CD=1, & le point D sera l'origine des inconnues u qui revient vers C, & x qui est parallele à AB, & le sommet du diametre DC sur lequel on décrira ( Art. 10. no. 11 , ou Art. 11. no. 11.) la parabole ADMB , par le moyen de l'équation réduite xx=bu, qui satisfera au Problême.

DEMONSTRATION. Il est clair 10. que la parabole passe par les points A & B:car si dans l’equation à réduire xx=da by, on fait y=0, le terme — by deviendra nul, & l'on aura xx = aa; donc x=+a=CA, ou CB.

2°. D'un point quelconque M pris sur la parabole ayant mené M P & Me paralleles à DC & à CB, l'on aura ( Art. 10. no. 8.) DC. DC:: QM'.CB', ou en termes

, &

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algebriques u, ou c-y.c::xx. ad, &

partant aar - aay =cxx: mais l'on a pris bc = aa ; l'on a doncca mettant dans l'équation en la place de c'sa valeur, elle deviendra aa - by =

= xx , qui est celle que l'on a construite. C. l. F. D.

PROBLEME INDÉTERMINÉ. 3.

UN angle GAH, & un point fixe B sur un de ses côtez F16. 85. AH étant donnez de position. Si par le point B on mene la' droite BC perpendiculaire à AH, & d'un point quelconque P la droite PE parallele à B C qui rencontre A G en E, & quc du centre B , & du rayon Pe l'on décrive un arc de cercle qui coupe PE en M; & comme l'on peut trouver une infinité de points comme M, il faut trouver une équation qui exprime la nature de la courbe que tous les points M forment.

Ayant supposé le Problême résolu, mené BM,& nommé les données A B, a; BC,6; & les indéterminées B P, X; PM,Y; AP sera a + x; & les triangles semblables donneront AB (.). BC (6) :: A P(a+*)

ab + bx .PE= ( Const.) BM;& à cause du triangle

aabb + 2abbx + bbxx
rectangle BPM , l'on aura xx + yy=
ou aaxx + aayy=aabb + 2abbx + bbxx, ou en supposant
que a surpasle b, aaxx-

, aaxx - bbxx
= 2 abbx + aabb

aayy, qui est une équation à l’Ellipse. Si l'on fupposoit a moindre que b, l'on auroit bbxx-aaxx=

14bbx –4abb+4ayy, qui est une équation à l'Hyperbole. Enfin si l'on suppose a=b, l'on aura, après avoir mis a à la place de b, & réduit l'équation à l'ordinaire, yy=2ax + aa qui est une équation à la parabole, dont le sommet n'est point en B à cause qu'elle contient trois termes.

Pour la réduire, on la divisera premierement par 2, afin que x ne soit accompagnée d'aucune quantité connue dans la réduction, & l'on aura įyy=ax + į aa , & ayant

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