fait x +4a=z, l'équation réduite ferayyaz, ou yy 2azen mettant pour x + a. Ce qui donne cette conftruction.

A cause de la réduction x + a=z, on divifera A B par le milieu en D, & le point D fera le fommet de l'axe DH, & la parabole fe trouve décrite par la conftruction.

DE'MONSTRATION.

AYA ANT mené d'un point quelconque M pris fur la parabole, la ligne MP perpendiculaire à DH, par la propriété de la parabole, le parametre de l'axe étant Art. 10, no. 7.) 2a, l'on aura 2az=yy, ou zax + aa yy, en remettant pour la valeur x + a. C. Q. F.D.

REMARQUE.

4.CE Problême pourroit fervir de fondement à un Traité des trois Sections coniques; puifque la même équation convient à toutes les trois en faifant feulement BC égale, moindre, ou plus grande que AB, & que c'eft auffi la même description pour toutes les trois. Je ne m'en fuis néanmoins fervi que pour la parabole, tant parceque les defcriptions que j'ai données de l'Ellipfe, & de l'Hyperbole ne font pas moins fimples, que parceque je n'aurois pû démontrer, comme j'ai fait, d'une maniere générale les proprietez de l'Hyperbole par raport à fes axes, & à tous les diametres.

5. Il eft aifé de voir que B eft le foyer de la parabole AM, A, le point générateur; AF parallele a BC, la ligne génératrice: car l'équation réduite yyaz montre que za eft le parametre, & par la conftruction BD= DA=a. Et parceque (Hyp.) BC=AB l'on a aussi AP PE (Conft.) BM= FM; c'eft pourquoi cette description est la même que celle de l'Article 10, comme on vient de remarquer,

bb =0, qui appartient à une des quatre courbes du premier genre; puifque les inconnues x & y n'excedent point le fecond degré.

Pour ramener cette équation à l'état de quelqu'une de celles des trois Sections précedentes, je fais x + →

2axy

ay

b

, pour faire évanouir le second terme & l'équa

b

tion se change en celle-ci zz-by-bbo, ou z= by +bb, où l'on voit déja qu'elle est à la parabole, puisqu'il n'y a qu'un quarré inconnu zz; mais les inconnues z & n'ont point leur origine au fommet du diametre fur lequel il la faut décrire, parcequ'il y a encore trois termes; c'est pourquoi je fais encore y+bu, & l'équation devient z=bu, qui eft femblable à celle de l'Art. 10.

Pour conftruire cette équation foit A l'origine des in- FIG. 86, connues y qui va vers H, &x, qui fait avec AH un angle quelconque, & va vers G ; à caufe de la deuxième réduction y+bu, on prolongera AH du côté de Дen 1, en forte que AI=b, & le point I fera l'origine des inconnues qui va toujours vers H,&x qui fait toujours le même angle avec IH, & eft parallele à A G.

A caufe de la premiere réduction x +

ay b

༤=༢., l'on

menera par I la droite IO parallele à AG, & ayant fait 10 = a; l'on menera de O par A la droite OAK & le point o fera le fommet du diametre fur lequel il faut décrire la parabole: car fi par quelque point B, pris fur A H l'on mene la droite PBM parallele à 10, l'on aura à caufe des triangles semblables A10

x iij

ABP, AI (b). 10 (a) :: A B (y). BP=%; & par

ay

tant PM x+1/2=2: =z: mais parceque les coordonnées de la parabole font OP & PM, l'expreffion de OP doit fe trouver dans l'équation réduite auffi-bien que celle de PM, qui eft z, & au contraire celle de IB, qui eft u ne s'y doit plus rencontrer; parceque (Art. 10.) une équation à la parabole ne renferme que les expreffions de l'abciffe, de l'appliquée, & du parametre. Il faut donc trouver une équation qui renferme l'expreffion de I B ( u ) & celle de OP, afin de faire évanouir a de l'équation réduite, & introduire en fa place l'expreffion de OP. Pour ce fujet, je nomme la donnée OA; c; & l'indéterminée OP,f; & les triangles semblables AIO, ABP donneront AI. AB:: AO. AP: & componendo AI.IB :: AO.OP, ce qui eft en termes algebriques b. u:: c. f; donc uc = bf, & partant u = ᏓᏝ , & mettant cette valeur de u dans l'équation réduite <=bu, l'on aura z=bb, & fi l'on fait bbf, l'on aura z=ff, & l'on décrira par l'Article 10. n°. 11, ou par l'Article 11. no. 11, felon que l'angle OPM eft droit ou oblique, la parabole O M qui fatisfera au Problême.

DE'MONSTRATION.

༢;

AYANT mené d'un point quelque M la droite M P parallele à AG; OP étant, f; PM, z; & le parametre,f; l'on aura par la propriété de la parabole zz=ƒƒ, ou z= bu, en remettant pour f& pour, leurs valeurs &, & remettant encore pour ༢༢, & pour u, leurs valeurs xx + 24x7 + 1437, & y + b, l'on aura xx + 2axy + aa7y = by + bb, qui eft l'équation que l'on a conftruite. C. Q.F.D.

aayy

REMARQUE.

66

7. IL n'y a que la portion de la parabole qui commence en G, & va vers M qui réfout le Problême, puifque x & y commencent au point A.